दूरी और मध्यबिंदु कैलकुलेटर
समतल या अंतरिक्ष में दो बिंदु दर्ज करें और उनके बीच की दूरी सरलतम मूलरूप में पाएँ (साथ में दशमलव मान), उनका मध्यबिंदु, और वह बिंदु जो खंड को किसी भी अनुपात m : n में बाँटता है। जब आप एक अंत्यबिंदु और मध्यबिंदु जानते हों और दूसरा अंत्यबिंदु खोजना हो, तो मोड बदलें। हल की प्रक्रिया लिखकर दिखाई जाती है, और 2D में खंड पैमाने के अनुसार बनाया जाता है। निःशुल्क, पंजीकरण आवश्यक नहीं।
पूर्ण संख्याएँ, दशमलव या 3/4 जैसे भिन्न।
परिणाम
2√13 ≈ 7.211103
दूरी
(1, 1)
मध्यबिंदु
52
दूरी का वर्ग
हल की प्रक्रिया
d = √(वर्गित अंतरों का योग, x, y में)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
खंड सूत्र
(0, 5/3)
बिंदु जो P₁P₂ को आंतरिक रूप से 1 : 2 में बाँटता है
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
आरेख
दूरी और मध्यबिंदु कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
- 1. 2D या 3D चुनें और एक मोड। पहला मोड दो बिंदुओं के बीच माप करता है; दूसरा किसी बिंदु और मध्यबिंदु से अंत्यबिंदु खोजता है।
- 2. निर्देशांक दर्ज करें। पूर्णांक, दशमलव और 1/2 जैसे भिन्न सटीक रखे जाते हैं, इसलिए √13 की दूरी कभी 3.6055 में नहीं बदलती।
- 3. दूरी और मध्यबिंदु पढ़ें। दूरी सरलतम मूलरूप में दशमलव अनुमान के साथ दिखाई जाती है; मध्यबिंदु भिन्न या दशमलव बिंदु के रूप में दिखाया जाता है।
- 4. खंड सूत्र आज़माएँ। m और n सेट करें और आंतरिक या बाह्य विभाजन चुनें, ताकि वह बिंदु मिले जो खंड को उस अनुपात में बाँटता है। 2D में खंड, मध्यबिंदु और खंड-बिंदु अंकित किए जाते हैं।
सूत्र
| मात्रा | 2D | 3D |
|---|---|---|
| दूरी | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| मध्यबिंदु | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| बिंदु जो P₁P₂ को आंतरिक रूप से m : n में बाँटता है | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | वही, हर निर्देशांक पर लागू |
| बिंदु जो P₁P₂ को बाह्य रूप से m : n में बाँटता है | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | वही, हर निर्देशांक पर लागू |
| अन्य अंत्यबिंदु, P₁ और मध्यबिंदु M दिए होने पर | P₂ = 2M − P₁ | वही, हर निर्देशांक पर लागू |
दूरी सूत्र, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतरों पर लागू पाइथागोरस प्रमेय है: वे एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं जिसका कर्ण खंड है। 3D में यही विचार दो बार लागू होता है। मध्यबिंदु हर निर्देशांक का केवल औसत है, और अनुपात 1 : 1 के लिए यही खंड-बिंदु होता है।
हल किए गए उदाहरण
- 2D में दूरी और मध्यबिंदु। P₁ = (−2, 3) और P₂ = (4, −1) के लिए अंतर 6 और −4 हैं, इसलिए d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7.211103। मध्यबिंदु ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1) है।
- खंड सूत्र। उसी खंड को 1 : 2 अनुपात में आंतरिक रूप से बाँटने वाला बिंदु ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3) है। यह P₁ से P₂ की ओर एक-तिहाई दूरी पर है।
- बाह्य विभाजन। P₁ = (0, 0) और P₂ = (4, 0) के लिए 3 : 1 का बाह्य विभाजन ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0) देता है, जो P₂ के आगे का बिंदु है।
- 3D में दूरी। (1, 2, 3) से (4, −2, 15) तक अंतर 3, −4 और 12 हैं, इसलिए d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, और मध्यबिंदु (5/2, 0, 9) है।
- लापता अंत्यबिंदु। यदि एक अंत्यबिंदु (1, 2) है और मध्यबिंदु (5/2, 4) है, तो दूसरा अंत्यबिंदु (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6) है।
आंतरिक और बाह्य विभाजन
यह कहना कि कोई बिंदु P₁P₂ को अनुपात m : n में बाँटता है, का अर्थ है कि उसकी P₁ और P₂ से दूरियाँ m और n के अनुपात में हैं। आंतरिक विभाजन में बिंदु दोनों के बीच होता है, और उसकी लंबाई का m/(m + n) भाग P₁ की ओर होता है। बाह्य विभाजन में बिंदु रेखा पर होता है पर खंड के बाहर: m > n होने पर P₂ के आगे, और m < n होने पर P₁ के आगे। 1 : 1 अनुपात का कोई बाह्य बिंदु नहीं होता, क्योंकि सूत्र शून्य से भाग देगा। खंड-बिंदु से किसी रेखाखंड को बराबर भागों में बाँटा जाता है, किसी केंद्रक का पता लगाया जाता है, और दो ज्ञात बिंदुओं के बीच निर्देशांकों का अंतर्वेशन किया जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- दूरी सूत्र क्या है?
- समतल में d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), और अंतरिक्ष में (z₂ − z₁)² पद जुड़ जाता है। यह पाइथागोरस प्रमेय से आता है: क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतर एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण है।
- किसी खंड का मध्यबिंदु कैसे ज्ञात करें?
- निर्देशांकों का औसत लें: दो x-मानों को जोड़कर आधा करें, दो y-मानों को जोड़कर आधा करें (और z के लिए भी ऐसा ही करें)। (−2, 3) और (4, −1) का मध्यबिंदु (1, 1) है।
- दूसरा अंत्यबिंदु और मध्यबिंदु ज्ञात हों, तो अन्य अंत्यबिंदु कैसे खोजें?
- मध्यबिंदु को दोगुना करें और ज्ञात अंत्यबिंदु घटाएँ, हर निर्देशांक पर: P₂ = 2M − P₁। मध्यबिंदु ठीक बीच में होता है, इसलिए अज्ञात अंत्यबिंदु M से उतनी ही दूर होता है जितना ज्ञात अंत्यबिंदु उसके पहले होता है।
- खंड सूत्र क्या है?
- यह वह बिंदु देता है जो खंड को दिए गए अनुपात में बाँटता है। आंतरिक विभाजन m : n अनुपात में बिंदु (n·P₁ + m·P₂)/(m + n) होता है; बाह्य विभाजन के लिए (m·P₂ − n·P₁)/(m − n)। मध्यबिंदु m = n की विशेष स्थिति है।
- क्या दूरी के लिए बिंदुओं का क्रम मायने रखता है?
- नहीं। बिंदुओं को बदलने से हर अंतर का चिह्न बदल जाता है, और अंतरों का वर्ग किया जाता है, इसलिए दूरी वही रहती है। क्रम खंड सूत्र के लिए मायने रखता है, क्योंकि m : n को P₁ से P₂ की ओर मापा जाता है।
- दूरी को वर्गमूल के रूप में क्यों छोड़ा जाता है?
- √52 जैसा वर्गमूल सटीक दूरी है; दशमलव गोल किया हुआ मान होता है। कैलकुलेटर इसे सरल करता है (√52 = 2√13) और दशमलव भी देता है, ताकि प्रमाण में सटीक मान और माप में दशमलव दोनों काम आएँ।