Calculadora de distancia y punto medio
Introduce dos puntos en el plano o en el espacio y obtén la distancia entre ellos en forma de radical simplificado (con su decimal al lado), su punto medio y el punto que divide el segmento en cualquier razón m : n. Cambia de modo para hallar el otro extremo cuando conoces un extremo y el punto medio. El procedimiento se escribe completo y, en 2D, el segmento se dibuja a escala. Gratis, sin registro.
Enteros, decimales o fracciones como 3/4.
Resultados
2√13 ≈ 7,211103
Distancia
(1, 1)
Punto medio
52
Distancia al cuadrado
El procedimiento
d = √(suma de las diferencias al cuadrado en x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Fórmula de división
(0, 5/3)
Punto que divide P₁P₂ internamente 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Diagrama
Cómo usar la calculadora de distancia y punto medio
- 1. Elige 2D o 3D y un modo. El primer modo mide entre dos puntos; el segundo halla un extremo a partir de un punto y el punto medio.
- 2. Introduce las coordenadas. Los enteros, los decimales y las fracciones como 1/2 se mantienen exactos, así que una distancia de √13 nunca se convierte en 3,6055.
- 3. Lee la distancia y el punto medio. La distancia aparece en forma de radical simplificado con una aproximación decimal; el punto medio se muestra como fracción o como punto decimal.
- 4. Prueba la fórmula de división. Define m y n y elige división interna o externa para hallar el punto que divide el segmento en esa razón. En 2D se representan el segmento, el punto medio y el punto de división.
Las fórmulas
| Magnitud | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Distancia | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Punto medio | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Punto que divide P₁P₂ internamente en m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | lo mismo, aplicado a cada coordenada |
| Punto que divide P₁P₂ externamente en m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | lo mismo, aplicado a cada coordenada |
| Otro extremo, dados P₁ y el punto medio M | P₂ = 2M − P₁ | lo mismo, aplicado a cada coordenada |
La fórmula de la distancia es el teorema de Pitágoras aplicado a las diferencias horizontal y vertical entre los puntos: son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento. En 3D la misma idea se aplica dos veces. El punto medio es simplemente el promedio de cada coordenada, y es el punto de división para la razón 1 : 1.
Ejemplos desarrollados
- Distancia y punto medio en 2D. Para P₁ = (−2, 3) y P₂ = (4, −1), las diferencias son 6 y −4, así que d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. El punto medio es ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
- Fórmula de división. El punto que divide el mismo segmento internamente en la razón 1 : 2 es ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Está a un tercio del camino desde P₁ hasta P₂.
- División externa. Para P₁ = (0, 0) y P₂ = (4, 0), la razón externa 3 : 1 da ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0), un punto más allá de P₂.
- Distancia en 3D. De (1, 2, 3) a (4, −2, 15), las diferencias son 3, −4 y 12, así que d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, y el punto medio es (5/2, 0, 9).
- Extremo que falta. Si un extremo es (1, 2) y el punto medio es (5/2, 4), el otro extremo es (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).
División interna y externa
Decir que un punto divide P₁P₂ en la razón m : n significa que sus distancias a P₁ y a P₂ están en la razón m a n. En una división interna el punto queda entre los dos, con m/(m + n) de la longitud del lado de P₁. En una división externa queda sobre la recta pero fuera del segmento: más allá de P₂ cuando m > n, más allá de P₁ cuando m < n. Una razón de 1 : 1 no tiene punto externo, porque la fórmula dividiría entre cero. Los puntos de división sirven para partir un segmento en partes iguales, para hallar un baricentro y para interpolar coordenadas entre dos puntos conocidos.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la fórmula de la distancia?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) en el plano, con un término (z₂ − z₁)² añadido en el espacio. Procede del teorema de Pitágoras: las diferencias horizontal y vertical son los dos catetos de un triángulo rectángulo y la distancia es su hipotenusa.
- ¿Cómo se halla el punto medio de un segmento?
- Promedia las coordenadas: suma las dos x y divide entre dos, suma las dos y y divide entre dos (y lo mismo con z). El punto medio de (−2, 3) y (4, −1) es (1, 1).
- ¿Cómo se halla un extremo si conoces el otro extremo y el punto medio?
- Duplica el punto medio y resta el extremo conocido, coordenada a coordenada: P₂ = 2M − P₁. El punto medio está exactamente a mitad de camino, así que el extremo desconocido está tan lejos más allá de M como el conocido está antes de él.
- ¿Qué es la fórmula de división de un segmento?
- Da el punto que divide un segmento en una razón dada. Para una división interna en la razón m : n el punto es (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); para una división externa es (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). El punto medio es el caso particular m = n.
- ¿Importa el orden de los puntos para la distancia?
- No. Intercambiar los puntos cambia el signo de cada diferencia, y las diferencias se elevan al cuadrado, así que la distancia es la misma. El orden sí importa para la fórmula de división, porque m : n se mide desde P₁ hasta P₂.
- ¿Por qué la distancia se deja como raíz cuadrada?
- Una raíz cuadrada como √52 es la distancia exacta; un decimal es un redondeo. La calculadora la simplifica (√52 = 2√13) y también da el decimal, así que puedes usar el valor exacto en una demostración y el decimal en una medida.