Kalkulator odległości i punktu środkowego
Wpisz dwa punkty na płaszczyźnie lub w przestrzeni, a otrzymasz odległość między nimi w najprostszej postaci pierwiastkowej (z przybliżeniem dziesiętnym obok), ich punkt środkowy oraz punkt dzielący odcinek w dowolnym stosunku m : n. Przełącz tryb, aby znaleźć drugi koniec, gdy znasz jeden koniec i środek. Obliczenia są rozpisane krok po kroku, a w 2D odcinek jest narysowany w skali. Za darmo, bez rejestracji.
Liczby całkowite, dziesiętne lub ułamki, na przykład 3/4.
Wyniki
2√13 ≈ 7,211103
Odległość
(1, 1)
Punkt środkowy
52
Odległość do kwadratu
Obliczenia
d = √(suma kwadratów różnic w x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Wzór na podział odcinka
(0, 5/3)
Punkt dzielący P₁P₂ wewnętrznie w stosunku 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Wykres
Jak korzystać z kalkulatora odległości i punktu środkowego
- 1. Wybierz 2D lub 3D oraz tryb. Pierwszy tryb mierzy odległość między dwoma punktami; drugi znajduje koniec odcinka na podstawie punktu i środka.
- 2. Wpisz współrzędne. Liczby całkowite, dziesiętne i ułamki, takie jak 1/2, są przechowywane dokładnie, więc odległość √13 nigdy nie zamieni się w 3,6055.
- 3. Odczytaj odległość i punkt środkowy. Odległość jest podana w najprostszej postaci pierwiastkowej z przybliżeniem dziesiętnym; punkt środkowy jest pokazany jako ułamek lub liczby dziesiętne.
- 4. Wypróbuj wzór na podział odcinka. Ustaw m i n oraz wybierz podział wewnętrzny lub zewnętrzny, aby znaleźć punkt, który dzieli odcinek w tym stosunku. W 2D odcinek, punkt środkowy i punkt podziału są naniesione na wykres.
Wzory
| Wielkość | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Odległość | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Punkt środkowy | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Punkt dzielący P₁P₂ wewnętrznie w stosunku m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | to samo, zastosowane do każdej współrzędnej |
| Punkt dzielący P₁P₂ zewnętrznie w stosunku m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | to samo, zastosowane do każdej współrzędnej |
| Drugi koniec, dane P₁ i punkt środkowy M | P₂ = 2M − P₁ | to samo, zastosowane do każdej współrzędnej |
Wzór na odległość to twierdzenie Pitagorasa zastosowane do poziomej i pionowej różnicy między punktami: są one przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, a odcinek jest jego przeciwprostokątną. W przestrzeni ta sama myśl stosowana jest dwukrotnie. Punkt środkowy to po prostu średnia każdej współrzędnej i jest punktem podziału dla stosunku 1 : 1.
Przykłady krok po kroku
- Odległość i punkt środkowy w 2D. Dla P₁ = (−2, 3) i P₂ = (4, −1) różnice wynoszą 6 i −4, więc d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Punkt środkowy to ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
- Wzór na podział odcinka. Punkt dzielący ten sam odcinek wewnętrznie w stosunku 1 : 2 to ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Leży w jednej trzeciej drogi od P₁ do P₂.
- Podział zewnętrzny. Dla P₁ = (0, 0) i P₂ = (4, 0) stosunek 3 : 1 przy podziale zewnętrznym daje ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0), czyli punkt za P₂.
- Odległość w 3D. Od (1, 2, 3) do (4, −2, 15) różnice wynoszą 3, −4 i 12, więc d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, a punkt środkowy to (5/2, 0, 9).
- Brakujący koniec. Jeśli jeden koniec to (1, 2), a punkt środkowy to (5/2, 4), to drugi koniec wynosi (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).
Podział wewnętrzny i zewnętrzny
Powiedzenie, że punkt dzieli P₁P₂ w stosunku m : n, oznacza, że jego odległości od P₁ i P₂ mają się do siebie jak m do n. Przy podziale wewnętrznym punkt leży między tymi dwoma, a m/(m + n) długości odcinka znajduje się po stronie P₁. Przy podziale zewnętrznym leży na prostej, ale poza odcinkiem: za P₂, gdy m > n, za P₁, gdy m < n. Stosunek 1 : 1 nie ma punktu zewnętrznego, bo wzór dzieliłby przez zero. Punkty podziału służą do dzielenia odcinka na równe części, do wyznaczania środka ciężkości i do interpolacji współrzędnych między dwoma znanymi punktami.
Najczęstsze pytania
- Jaki jest wzór na odległość?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) na płaszczyźnie, z dodanym składnikiem (z₂ − z₁)² w przestrzeni. Wynika z twierdzenia Pitagorasa: poziome i pionowe różnice są przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego, a odległość jest jego przeciwprostokątną.
- Jak znaleźć punkt środkowy odcinka?
- Uśrednij współrzędne: dodaj dwie wartości x i podziel na pół, dodaj dwie wartości y i podziel na pół (podobnie dla z). Punkt środkowy odcinka o końcach (−2, 3) i (4, −1) to (1, 1).
- Jak znaleźć koniec, gdy znasz drugi koniec i punkt środkowy?
- Podwój punkt środkowy i odejmij znany koniec, współrzędna po współrzędnej: P₂ = 2M − P₁. Punkt środkowy leży dokładnie w połowie, więc nieznany koniec jest tak samo daleko za M, jak znany koniec jest przed nim.
- Czym jest wzór na podział odcinka?
- Daje punkt dzielący odcinek w zadanym stosunku. Przy podziale wewnętrznym w stosunku m : n punkt to (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); przy podziale zewnętrznym (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Punkt środkowy to szczególny przypadek, w którym m = n.
- Czy kolejność punktów ma znaczenie dla odległości?
- Nie. Zamiana punktów zmienia znak każdej różnicy, a różnice są podnoszone do kwadratu, więc odległość jest taka sama. Kolejność ma natomiast znaczenie dla wzoru na podział, ponieważ stosunek m : n mierzy się od P₁ do P₂.
- Dlaczego odległość zostaje jako pierwiastek?
- Pierwiastek, taki jak √52, to dokładna odległość; wynik dziesiętny jest zaokrąglony. Kalkulator upraszcza pierwiastek (√52 = 2√13) i podaje także wartość dziesiętną, więc możesz użyć wartości dokładnej w dowodzie, a dziesiętnej w pomiarze.