Afstands- en middelpuntcalculator
Voer twee punten in het vlak of in de ruimte in en krijg de afstand ertussen in de eenvoudigste wortelvorm (met een decimaal ernaast), hun middelpunt en het punt dat het lijnstuk in elke verhouding m : n verdeelt. Wissel van modus om het andere eindpunt te vinden als je één eindpunt en het middelpunt kent. De uitwerking staat erbij en in 2D wordt het lijnstuk op schaal getekend. Gratis, zonder registratie.
Hele getallen, decimalen of breuken zoals 3/4.
Resultaten
2√13 ≈ 7,211103
Afstand
(1, 1)
Middelpunt
52
Afstand in het kwadraat
De uitwerking
d = √(som van de gekwadrateerde verschillen in x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Sectieformule
(0, 5/3)
Punt dat P₁P₂ inwendig verdeelt in 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Diagram
Zo gebruik je de afstands- en middelpuntcalculator
- 1. Kies 2D of 3D en een modus. De eerste modus meet de afstand tussen twee punten; de tweede zoekt een eindpunt vanuit een punt en het middelpunt.
- 2. Vul de coördinaten in. Gehele getallen, decimalen en breuken zoals 1/2 blijven exact, zodat een afstand van √13 nooit 3,6055 wordt.
- 3. Lees de afstand en het middelpunt af. De afstand staat in de eenvoudigste wortelvorm met een decimale benadering; het middelpunt wordt getoond als breuk of als decimaal.
- 4. Probeer de sectieformule. Stel m en n in en kies inwendige of uitwendige verdeling om het punt te vinden dat het lijnstuk in die verhouding splitst. In 2D worden het lijnstuk, het middelpunt en het sectiepunt getekend.
De formules
| Grootheid | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Afstand | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Middelpunt | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Punt dat P₁P₂ inwendig verdeelt in de verhouding m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | hetzelfde, toegepast op elke coördinaat |
| Punt dat P₁P₂ uitwendig verdeelt in de verhouding m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | hetzelfde, toegepast op elke coördinaat |
| Ander eindpunt, gegeven P₁ en het middelpunt M | P₂ = 2M − P₁ | hetzelfde, toegepast op elke coördinaat |
De afstandsformule is de stelling van Pythagoras toegepast op de horizontale en verticale verschillen tussen de punten: dat zijn de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan het lijnstuk de schuine zijde is. In 3D past hetzelfde idee twee keer toe. Het middelpunt is simpelweg het gemiddelde van elke coördinaat, en het is het sectiepunt voor de verhouding 1 : 1.
Uitgewerkte voorbeelden
- Afstand en middelpunt in 2D. Voor P₁ = (−2, 3) en P₂ = (4, −1) zijn de verschillen 6 en −4, dus d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Het middelpunt is ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
- Sectieformule. Het punt dat hetzelfde lijnstuk inwendig verdeelt in de verhouding 1 : 2 is ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Het ligt één derde van de weg van P₁ naar P₂.
- Uitwendige verdeling. Voor P₁ = (0, 0) en P₂ = (4, 0) geeft de uitwendige verdeling in de verhouding 3 : 1 ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0), een punt voorbij P₂.
- Afstand in 3D. Van (1, 2, 3) tot (4, −2, 15) zijn de verschillen 3, −4 en 12, dus d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, en het middelpunt is (5/2, 0, 9).
- Ontbrekend eindpunt. Als één eindpunt (1, 2) is en het middelpunt (5/2, 4), is het andere eindpunt (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).
Inwendige en uitwendige verdeling
Zeggen dat een punt P₁P₂ verdeelt in de verhouding m : n betekent dat de afstanden tot P₁ en P₂ zich verhouden als m tot n. Bij een inwendige verdeling ligt het punt tussen de twee in, met m/(m + n) van de lengte aan de kant van P₁. Bij een uitwendige verdeling ligt het punt op de lijn maar buiten het lijnstuk: voorbij P₂ als m > n, voorbij P₁ als m < n. Een verhouding 1 : 1 heeft geen uitwendig punt, omdat de formule door nul zou delen. Sectiepunten zijn de manier waarop een lijnstuk in gelijke delen wordt gesplitst, hoe een zwaartepunt wordt gevonden en hoe coördinaten tussen twee bekende punten worden geïnterpoleerd.
Veelgestelde vragen
- Wat is de afstandsformule?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) in het vlak, met een extra term (z₂ − z₁)² in de ruimte. Die komt uit de stelling van Pythagoras: de horizontale en verticale verschillen zijn de twee rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek en de afstand is de schuine zijde.
- Hoe vind je het middelpunt van een lijnstuk?
- Neem het gemiddelde van de coördinaten: tel de twee x-waarden op en deel door twee, tel de twee y-waarden op en deel door twee (en zo ook voor z). Het middelpunt van (−2, 3) en (4, −1) is (1, 1).
- Hoe vind je een eindpunt als je het andere eindpunt en het middelpunt kent?
- Verdubbel het middelpunt en trek het bekende eindpunt ervan af, coördinaat voor coördinaat: P₂ = 2M − P₁. Het middelpunt ligt precies halverwege, dus het onbekende eindpunt ligt even ver voorbij M als het bekende eindpunt ervoor ligt.
- Wat is de sectieformule?
- Die geeft het punt dat een lijnstuk in een gegeven verhouding verdeelt. Voor een inwendige verdeling in de verhouding m : n is het punt (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); voor een uitwendige verdeling is het (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Het middelpunt is het speciale geval m = n.
- Maakt de volgorde van de punten uit voor de afstand?
- Nee. Als je de punten omwisselt, verandert het teken van elk verschil, en omdat de verschillen worden gekwadrateerd is de afstand hetzelfde. De volgorde is wel belangrijk voor de sectieformule, omdat m : n wordt gemeten vanaf P₁ naar P₂.
- Waarom blijft de afstand een wortel?
- Een wortel zoals √52 is de exacte afstand; een decimaal is afgerond. De calculator vereenvoudigt de wortel (√52 = 2√13) en geeft ook de decimaal, zodat je de exacte waarde in een bewijs kunt gebruiken en de decimaal in een meting.