Калькулятор расстояния и середины отрезка
Введите две точки на плоскости или в пространстве и получите расстояние между ними в простейшем виде с корнем (рядом — десятичное приближение), их середину и точку, которая делит отрезок в любом отношении m : n. Переключите режим, чтобы найти второй конец отрезка, когда известны один конец и середина. Ход вычислений расписан, а в 2D отрезок строится в масштабе. Бесплатно, без регистрации.
Целые числа, десятичные дроби или дроби вида 3/4.
Результаты
2√13 ≈ 7,211103
Расстояние
(1, 1)
Середина
52
Квадрат расстояния
Ход вычислений
d = √(сумма квадратов разностей по x, y)
d = √((4 − (−2))² + ((−1) − 3)²) = √(6² + (−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103
√52 = √(4 × 13) = 2√13
M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, …)
M = (((−2) + 4) / 2, (3 + (−1)) / 2) = (1, 1)
Формула деления отрезка
(0, 5/3)
Точка, делящая P₁P₂ внутренним образом в отношении 1 : 2
S = (n·P₁ + m·P₂) / (m + n)
S = (2 × P₁ + 1 × P₂) / (1 + 2) = (0, 5/3)
Схема
Как пользоваться калькулятором расстояния и середины отрезка
- 1. Выберите 2D или 3D и режим. Первый режим измеряет расстояние между двумя точками; второй находит конец отрезка по точке и середине.
- 2. Введите координаты. Целые числа, десятичные дроби и дроби вида 1/2 хранятся точно, поэтому расстояние √13 никогда не превратится в 3,6055.
- 3. Прочитайте расстояние и середину. Расстояние дано в простейшем виде с корнем и с десятичным приближением; середина записана дробью или десятичным числом.
- 4. Попробуйте формулу деления отрезка. Задайте m и n и выберите внутреннее или внешнее деление, чтобы найти точку, которая делит отрезок в этом отношении. В 2D отрезок, середина и точка деления отмечаются на схеме.
Формулы
| Величина | 2D | 3D |
|---|---|---|
| Расстояние | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) | d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Середина | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) | ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) |
| Точка, делящая P₁P₂ внутренним образом в отношении m : n | (n·P₁ + m·P₂) / (m + n) | то же, применённое к каждой координате |
| Точка, делящая P₁P₂ внешним образом в отношении m : n | (m·P₂ − n·P₁) / (m − n) | то же, применённое к каждой координате |
| Второй конец, если даны P₁ и середина M | P₂ = 2M − P₁ | то же, применённое к каждой координате |
Формула расстояния — это теорема Пифагора, применённая к горизонтальной и вертикальной разностям между точками: они являются катетами прямоугольного треугольника, а отрезок — его гипотенузой. В 3D та же идея применяется дважды. Середина — это среднее арифметическое каждой координаты, и она же является точкой деления при отношении 1 : 1.
Примеры
- Расстояние и середина в 2D. Для P₁ = (−2, 3) и P₂ = (4, −1) разности равны 6 и −4, поэтому d = √(36 + 16) = √52 = 2√13 ≈ 7,211103. Середина: ((−2 + 4)/2, (3 − 1)/2) = (1, 1).
- Формула деления отрезка. Точка, которая делит тот же отрезок внутренним образом в отношении 1 : 2, равна ((2 × (−2) + 1 × 4)/3, (2 × 3 + 1 × (−1))/3) = (0, 5/3). Она лежит на одной трети пути от P₁ к P₂.
- Внешнее деление. Для P₁ = (0, 0) и P₂ = (4, 0) внешнее деление в отношении 3 : 1 даёт ((3 × 4 − 1 × 0)/(3 − 1), 0) = (6, 0) — точку за P₂.
- Расстояние в 3D. От (1, 2, 3) до (4, −2, 15) разности равны 3, −4 и 12, поэтому d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13, а середина — (5/2, 0, 9).
- Недостающий конец. Если один конец — (1, 2), а середина — (5/2, 4), то второй конец равен (2 × 5/2 − 1, 2 × 4 − 2) = (4, 6).
Внутреннее и внешнее деление
Утверждение, что точка делит P₁P₂ в отношении m : n, означает, что её расстояния до P₁ и P₂ относятся как m к n. При внутреннем делении точка лежит между ними, и m/(m + n) длины приходится на сторону P₁. При внешнем делении она лежит на прямой, но за пределами отрезка: за P₂, если m > n, и за P₁, если m < n. Отношение 1 : 1 не имеет внешней точки, потому что формула дала бы деление на ноль. Точки деления нужны, чтобы разбивать отрезок на равные части, находить центроид и интерполировать координаты между двумя известными точками.
Часто задаваемые вопросы
- Что такое формула расстояния?
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) на плоскости; в пространстве добавляется слагаемое (z₂ − z₁)². Она выводится из теоремы Пифагора: горизонтальная и вертикальная разности — это два катета прямоугольного треугольника, а расстояние — его гипотенуза.
- Как найти середину отрезка?
- Найдите среднее арифметическое координат: сложите два значения x и разделите пополам, сложите два значения y и разделите пополам (и так же для z). Середина отрезка между (−2, 3) и (4, −1) равна (1, 1).
- Как найти конец отрезка, если известны второй конец и середина?
- Удвойте середину и вычтите известный конец, координата за координатой: P₂ = 2M − P₁. Середина находится ровно посередине, поэтому неизвестный конец лежит на таком же расстоянии за M, на каком известный конец находится перед ней.
- Что такое формула деления отрезка?
- Это формула точки, которая делит отрезок в заданном отношении. При внутреннем делении в отношении m : n точка равна (n·P₁ + m·P₂)/(m + n); при внешнем делении — (m·P₂ − n·P₁)/(m − n). Середина — частный случай при m = n.
- Имеет ли значение порядок точек для расстояния?
- Нет. При перестановке точек меняется знак каждой разности, а разности возводятся в квадрат, поэтому расстояние то же. Порядок важен для формулы деления, потому что отношение m : n отсчитывается от P₁ к P₂.
- Почему расстояние оставляют в виде квадратного корня?
- Корень вроде √52 — это точное расстояние, а десятичное число — округлённое. Калькулятор упрощает корень (√52 = 2√13) и также даёт десятичное значение, так что точное значение можно использовать в доказательстве, а десятичное — в измерении.