Калькулятор определённого интеграла

Результаты

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Как пользоваться калькулятором определённого интеграла

1. 1. Введите функцию. Используйте x как переменную: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). Знак умножения можно опустить, так что 2x и x sin x работают.
2. 2. Введите пределы. Используйте числа или константы, например 0, -2 или pi/2. Для несобственного интеграла введите inf или -inf для бесконечного предела.
3. 3. Прочитайте значение и его погрешность. Оценка абсолютной погрешности показывает, сколько знаков в результате надёжны. Если f меняет знак, полная площадь ∫|f| без учёта знака выводится рядом с алгебраической площадью.
4. 4. Проверьте примечания и график. Любая особенность, бесконечный предел или проблема со сходимостью описываются простыми словами, а на графике площадь над осью заштрихована синим, под осью — оранжевым.

Как вычисляется интеграл

Метод по умолчанию — адаптивный Гаусс–Кронрод, схема, на которой построен QUADPACK. На каждом подотрезке вычисляются 7-точечное правило Гаусса и 15-точечное правило Кронрода в вложенных точках; значение Кронрода — это оценка, а разность между двумя правилами — оценка погрешности. Подотрезок с наибольшей погрешностью делится пополам, и процесс повторяется, пока полная погрешность не станет меньше 10⁻¹⁰ от результата (или 10⁻¹² по абсолютной величине). Для гладких функций обычно получаются 12–14 верных знаков за несколько сотен вычислений или меньше.

Бесконечный предел отображается на [0, 1) подстановкой x = a + t/(1 − t). Когда f не конечна на конце отрезка, как ln x или 1/√x в точке 0, калькулятор переключается на квадратуру tanh–sinh (двойная экспонента), которая справляется с интегрируемыми особенностями на концах; такие результаты приводятся примерно с восемью знаками. Обзор квадратурных методов см. в Цифровой библиотеке математических функций NIST, §3.5.

Примеры

Особенности, расходимость и предупреждения

• Интегрируемая особенность. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 и ∫₀¹ ln x dx = −1 конечны, хотя подынтегральная функция неограниченно растёт в 0. Калькулятор отмечает несобственный конец отрезка и использует правило tanh–sinh.
• Расходимость. Для ∫₀¹ 1/x dx площадь растёт по мере приближения к 0. Инструмент проверяет это, интегрируя до всё более близких к проблемной точке значений; если приращения не уменьшаются, он сообщает о расходимости вместо значения. Тот же тест отвергает ∫₋₁¹ 1/x dx: его половины взаимно уничтожаются (главное значение 0), но каждая расходится сама по себе, поэтому интеграл не существует.
• Не вещественна на части отрезка. ∫₋₁¹ √x dx не имеет значения, поскольку √x не вещественна при отрицательных x. Калькулятор называет точку, где f перестаёт быть определённой.
• Узкие всплески. Любое численное правило может пропустить особенность, гораздо более узкую, чем шаг выборки. Отрезок сначала делится на восемь панелей для надёжности, но если вы подозреваете всплеск, разбейте интеграл в этой точке сами.

Часто задаваемые вопросы

Что представляет собой определённый интеграл?

Это алгебраическая площадь между кривой y = f(x) и осью x от a до b: площадь над осью считается положительной, под осью — отрицательной. По основной теореме анализа он также равен накопленному изменению любой величины, скорость изменения которой равна f(x).

Почему интеграл равен 0, а площадь — нет?

Для sin x на [0, 2π] часть над осью и часть под осью взаимно уничтожаются, поэтому алгебраический интеграл равен 0, но геометрическая площадь равна 4. Калькулятор показывает обе величины, когда функция меняет знак: интеграл от |f| даёт полную площадь.

Насколько точен результат?

Для гладких функций оценка погрешности обычно около 10⁻¹³ или меньше, а значение приводится с десятью значащими цифрами. Для несобственных интегралов и бесконечных пределов заявленная точность — около восьми знаков. Показанная погрешность — оценка численной ошибки, а не математически гарантированная граница.

Что такое несобственный интеграл?

Интеграл с бесконечным пределом или такой, где подынтегральная функция не ограничена в какой-либо точке отрезка. Он определяется как предел и сходится, только если этот предел конечен: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 сходится, а ∫₁^∞ 1/x dx — нет.

Может ли калькулятор дать первообразную?

Нет. Он вычисляет интеграл численно, что работает и для функций без элементарной первообразной, таких как e^(−x²) или sin(x)/x. Для символической работы с шагами предназначен Калькулятор производных.

Как проинтегрировать sin(x)/x через 0?

Просто введите функцию с пределами, охватывающими 0, например от −1 до 1. Функция в точке 0 не определена, но имеет там предел 1; отрезок делится так, что сама точка никогда не выбирается, и результат — 1,892166141, что равно 2·Si(1).

Что делать, если в функции есть параметр, например a·x²?

Сначала замените параметр числом. Определённый интеграл — это одно число, поэтому каждая буква, кроме переменной интегрирования, должна иметь значение. Переменной может быть любая одна буква, но только одна.