Calculator voor bepaalde integralen

Resultaten

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Zo gebruik je de calculator voor bepaalde integralen

1. 1. Typ de functie. Gebruik x als variabele: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). Vermenigvuldigen mag je weglaten, dus 2x en x sin x werken.
2. 2. Vul de grenzen in. Gebruik getallen of constanten zoals 0, -2 of pi/2. Voor een oneigenlijke integraal typ je inf of -inf voor een oneindige grens.
3. 3. Lees de waarde en de fout. De geschatte absolute fout zegt hoeveel van de afgedrukte cijfers je kunt vertrouwen. Als f van teken verandert, wordt het totale ongetekende oppervlak ∫|f| naast het netto getekende oppervlak getoond.
4. 4. Controleer de opmerkingen en de grafiek. Elke singulariteit, oneindige grens of convergentieprobleem wordt in gewone woorden gemeld, en de grafiek arceert het oppervlak boven de as (blauw) en eronder (oranje).

Hoe de integraal wordt berekend

De standaardmethode is adaptieve Gauss–Kronrod, het schema achter QUADPACK. Op elk deelinterval worden een 7-puntsregel van Gauss en een 15-puntsregel van Kronrod geëvalueerd in geneste punten; de Kronrod-waarde is de schatting en het verschil tussen de twee is de foutschatting. Het deelinterval met de grootste fout wordt in tweeën gesplitst, en het proces herhaalt zich tot de totale fout onder 10⁻¹⁰ van het resultaat ligt (of 10⁻¹² absoluut). Voor gladde functies levert dit meestal 12 tot 14 juiste cijfers op, met enkele honderden evaluaties of minder.

Een oneindige grens wordt afgebeeld op [0, 1) met x = a + t/(1 − t). Wanneer f in een eindpunt niet eindig is, zoals ln x of 1/√x in 0, schakelt de calculator over op tanh–sinh (dubbel-exponentiële) quadratuur, die omgaat met integreerbare singulariteiten in eindpunten; die resultaten worden met ongeveer acht cijfers gerapporteerd. Voor de achtergrond van de quadratuur, zie §3.5 van de Digital Library of Mathematical Functions van het NIST.

Uitgewerkte voorbeelden

Singulariteiten, divergentie en hun waarschuwingen

• Integreerbare singulariteit. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 en ∫₀¹ ln x dx = −1 zijn eindig, ook al wordt de integrand in 0 oneindig groot. De calculator meldt het oneigenlijke eindpunt en gebruikt de tanh–sinh-regel.
• Divergentie. Voor ∫₀¹ 1/x dx blijft het oppervlak groeien naarmate je dichter bij 0 stopt. De tool test dit door te integreren tot punten die steeds dichter bij het probleempunt liggen; als de toenames niet kleiner worden, meldt hij divergentie in plaats van een waarde. Dezelfde test weigert ∫₋₁¹ 1/x dx: de twee helften heffen elkaar op (een hoofdwaarde van 0), maar elke helft divergeert afzonderlijk, dus de integraal bestaat niet.
• Niet reëel op een deel van het interval. ∫₋₁¹ √x dx heeft geen waarde, want √x is niet reëel voor negatieve x. De calculator noemt het punt waar f ophoudt gedefinieerd te zijn.
• Smalle pieken. Elke numerieke regel kan een kenmerk missen dat veel smaller is dan zijn steekafstand. Het interval wordt eerst in acht panelen gesplitst om te helpen, maar als je een piek vermoedt, splits de integraal daar dan zelf.

Veelgestelde vragen

Wat stelt een bepaalde integraal voor?

Het is het netto getekende oppervlak tussen de kromme y = f(x) en de x-as van a tot b: oppervlak boven de as telt positief, oppervlak eronder telt negatief. Volgens de Hoofdstelling van de integraalrekening is het ook gelijk aan de opgetelde verandering van elke grootheid waarvan de veranderingssnelheid f(x) is.

Waarom is de integraal 0, maar het oppervlak niet?

Voor sin x over [0, 2π] heffen het deel boven de as en het deel eronder elkaar op, dus de netto integraal is 0, maar het meetkundige oppervlak is 4. De calculator toont beide wanneer de functie van teken verandert: de integraal van |f| geeft het totale oppervlak.

Hoe nauwkeurig is het resultaat?

Voor gladde functies is de foutschatting meestal rond 10⁻¹³ of kleiner, en de waarde wordt met tien significante cijfers gerapporteerd. Voor oneigenlijke integralen en oneindige grenzen is de opgegeven nauwkeurigheid ongeveer acht cijfers. De getoonde fout is een schatting van de numerieke fout, geen wiskundig gegarandeerde grens.

Wat is een oneigenlijke integraal?

Een integraal met een oneindige grens, of een waarin de integrand op een punt van het interval onbegrensd is. Hij wordt gedefinieerd als een limiet, en hij convergeert alleen als die limiet eindig is: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 convergeert, maar ∫₁^∞ 1/x dx niet.

Kan hij de primitieve geven?

Nee. Hij berekent de integraal numeriek, wat ook werkt voor functies zonder elementaire primitieve, zoals e^(−x²) of sin(x)/x. Voor symbolisch werk met stappen is de Afgeleidecalculator de juiste tool.

Hoe integreer ik sin(x)/x over 0?

Voer hem gewoon in met grenzen die 0 omvatten, zoals −1 tot 1. De functie is precies in 0 niet gedefinieerd, maar heeft daar een limiet van 1, en het interval wordt zo gesplitst dat het punt zelf nooit wordt bemonsterd; het resultaat is 1,892166141, wat gelijk is aan 2·Si(1).

Wat als mijn functie een parameter heeft, zoals a·x²?

Vervang de parameter eerst door een getal. Een bepaalde integraal is één getal, dus elke letter behalve de integratievariabele moet een waarde hebben. Elke letter kan de variabele zijn, maar er mag er maar één zijn.