Rechner für bestimmte Integrale

Ergebnisse

${\int }_0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

So verwenden Sie den Rechner für bestimmte Integrale

1. 1. Geben Sie die Funktion ein. Verwenden Sie x als Variable: sin(x), e^(-x^2), 1/sqrt(x), x^2 ln(x). Das Multiplikationszeichen darf entfallen, sodass 2x und x sin x funktionieren.
2. 2. Geben Sie die Grenzen ein. Verwenden Sie Zahlen oder Konstanten wie 0, -2 oder pi/2. Bei einem uneigentlichen Integral geben Sie für eine unendliche Grenze inf oder -inf ein.
3. 3. Lesen Sie den Wert und seinen Fehler. Der geschätzte absolute Fehler zeigt, wie vielen der angezeigten Stellen Sie vertrauen können. Wechselt f das Vorzeichen, wird neben der Nettofläche mit Vorzeichen die Gesamtfläche ∫|f| angezeigt.
4. 4. Prüfen Sie die Hinweise und den Graphen. Jede Singularität, unendliche Grenze oder jedes Konvergenzproblem wird in einfachen Worten gemeldet. Der Graph schraffiert die Fläche oberhalb der Achse (blau) und unterhalb (orange).

So wird das Integral berechnet

Die Standardmethode ist das adaptive Gauß–Kronrod-Verfahren, das hinter QUADPACK steht. Auf jedem Teilintervall werden eine 7-Punkt-Gauß-Regel und eine 15-Punkt-Kronrod-Regel an ineinander geschachtelten Punkten ausgewertet. Der Kronrod-Wert ist die Schätzung, und die Differenz der beiden ist die Fehlerschätzung. Das Teilintervall mit dem größten Fehler wird halbiert, und der Vorgang wiederholt sich, bis der Gesamtfehler unter 10⁻¹⁰ des Ergebnisses liegt (oder 10⁻¹² absolut). Bei glatten Funktionen ergibt das typischerweise 12 bis 14 korrekte Stellen mit einigen hundert Auswertungen oder weniger.

Eine unendliche Grenze wird mit x = a + t/(1 − t) auf [0, 1) abgebildet. Ist f an einem Endpunkt nicht endlich, wie ln x oder 1/√x bei 0, wechselt der Rechner zur tanh–sinh-Quadratur (doppelt-exponentiell), die mit integrierbaren Endpunktsingularitäten umgehen kann. Diese Ergebnisse werden auf etwa acht Stellen angegeben. Zum Hintergrund der Quadratur siehe Digital Library of Mathematical Functions des NIST, §3.5.

Beispiele

Singularitäten, Divergenz und ihre Warnungen

• Integrierbare Singularität. ∫₀¹ 1/√x dx = 2 und ∫₀¹ ln x dx = −1 sind endlich, obwohl der Integrand bei 0 unbeschränkt wird. Der Rechner vermerkt den uneigentlichen Endpunkt und verwendet die tanh–sinh-Regel.
• Divergenz. Bei ∫₀¹ 1/x dx wächst die Fläche, je näher man bei 0 aufhört. Das Werkzeug prüft dies, indem es bis zu Punkten integriert, die der kritischen Stelle immer näher kommen. Werden die Zuwächse nicht kleiner, meldet es Divergenz statt eines Werts. Derselbe Test lehnt ∫₋₁¹ 1/x dx ab: Die beiden Hälften heben sich auf (ein Hauptwert von 0), doch jede divergiert für sich, daher existiert das Integral nicht.
• Auf einem Teil des Intervalls nicht reell. ∫₋₁¹ √x dx hat keinen Wert, da √x für negative x nicht reell ist. Der Rechner nennt den Punkt, an dem f nicht mehr definiert ist.
• Schmale Spitzen. Jede numerische Regel kann ein Merkmal übersehen, das viel schmaler ist als ihr Stützstellenabstand. Zur Hilfe wird das Intervall zunächst in acht Felder geteilt. Vermuten Sie eine Spitze, teilen Sie das Integral an dieser Stelle selbst auf.

Häufig gestellte Fragen

Was stellt ein bestimmtes Integral dar?

Es ist die Nettofläche mit Vorzeichen zwischen der Kurve y = f(x) und der x-Achse von a bis b: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb negativ. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist es außerdem die aufsummierte Änderung jeder Größe, deren Änderungsrate f(x) ist.

Warum ist das Integral 0, die Fläche aber nicht 0?

Bei sin x über [0, 2π] heben sich der Teil oberhalb und der Teil unterhalb der Achse auf, sodass das Nettointegral 0 ist, die geometrische Fläche aber 4. Der Rechner zeigt beides, wann immer die Funktion das Vorzeichen wechselt: Das Integral von |f| ergibt die Gesamtfläche.

Wie genau ist das Ergebnis?

Bei glatten Funktionen liegt die Fehlerschätzung typischerweise bei 10⁻¹³ oder darunter, und der Wert wird auf zehn signifikante Stellen angegeben. Bei uneigentlichen Integralen und unendlichen Grenzen liegt die angegebene Genauigkeit bei etwa acht Stellen. Der angezeigte Fehler ist eine Schätzung des numerischen Fehlers, keine mathematisch garantierte Schranke.

Was ist ein uneigentliches Integral?

Ein Integral mit einer unendlichen Grenze oder eines, bei dem der Integrand an einem Punkt des Intervalls unbeschränkt ist. Es wird als Grenzwert definiert und konvergiert nur, wenn dieser Grenzwert endlich ist: ∫₁^∞ x⁻² dx = 1 konvergiert, ∫₁^∞ 1/x dx dagegen nicht.

Kann er die Stammfunktion angeben?

Nein. Er wertet das Integral numerisch aus, was auch bei Funktionen ohne elementare Stammfunktion funktioniert, etwa e^(−x²) oder sin(x)/x. Für symbolische Rechnungen mit Schritten ist der Ableitungsrechner das passende Werkzeug.

Wie integriere ich sin(x)/x über 0 hinweg?

Geben Sie sie einfach mit Grenzen ein, die 0 einschließen, etwa −1 bis 1. Die Funktion ist bei genau 0 nicht definiert, hat dort aber den Grenzwert 1. Das Intervall wird so geteilt, dass der Punkt selbst nie ausgewertet wird. Das Ergebnis ist 1,892166141, also 2·Si(1).

Was ist, wenn meine Funktion einen Parameter hat, etwa a·x²?

Ersetzen Sie den Parameter zuerst durch eine Zahl. Ein bestimmtes Integral ist eine einzige Zahl, daher muss jeder Buchstabe außer der Integrationsvariablen einen Wert haben. Ein beliebiger Buchstabe kann die Variable sein, aber nur einer.