Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate?

Subtrahieren Sie die Funktionswerte an den beiden Enden und teilen Sie durch die Differenz der Eingaben: (f(b) − f(a))/(b − a). Bei einer Tabelle lesen Sie die y-Werte zu den beiden x-Werten ab und rechnen genauso.

Was bedeutet eine negative mittlere Änderungsrate?

Dass die Ausgabe über das Intervall insgesamt abgenommen hat: Die Sekante fällt. Sie sagt nichts darüber, was dazwischen geschah, denn die Funktion kann zuerst gestiegen und dann stärker gefallen sein.

Worin unterscheidet sie sich von der Steigung einer Geraden?

Bei einer Geraden ist die mittlere Änderungsrate über jedes Intervall gleich und entspricht der Steigung. Bei einer Kurve hängt sie vom gewählten Intervall ab, deshalb braucht man die momentane Änderungsrate (die Ableitung).

Wie gebe ich Einheiten an?

Die Einheit der Rate ist die Einheit von y geteilt durch die Einheit von x. Ist y eine Strecke in Metern und x eine Zeit in Sekunden, ist die Rate in Metern pro Sekunde. Geben Sie beide Einheiten in den Rechner ein, dann erhalten Sie den Satz ausformuliert.

Was besagt der Mittelwertsatz in diesem Zusammenhang?

Ist f auf [a; b] stetig und dazwischen differenzierbar, dann gibt es einen Punkt c in (a; b), an dem die momentane Änderungsrate f′(c) gleich der mittleren Änderungsrate über [a; b] ist. Die Tangente in c verläuft parallel zur Sekante. Der Rechner findet solche Punkte numerisch und zeichnet eine Tangente ein.

Kann ich ihn für ungleich verteilte Daten verwenden?

Ja. Die Rate zwischen zwei beliebigen x-Werten ist für Ihre Daten exakt, und die Tabelle der Raten zwischen aufeinanderfolgenden Punkten kommt mit ungleichen Abständen zurecht, weil jede Zeile durch ihr eigenes Δx teilt.

Rechner für die mittlere Änderungsrate

Geben Sie eine Funktion oder eine Datentabelle und zwei x-Werte ein, und Sie erhalten die mittlere Änderungsrate zwischen ihnen – die Steigung der Sekante – mit Δy und Δx, der Gleichung der Sekante, einem Satz in Alltagssprache mit Ihren Einheiten (Meter pro Sekunde, Dollar pro Jahr), einer Tabelle, die zeigt, wie sich die Rate der momentanen Änderungsrate annähert, wenn das Intervall kleiner wird, und dem Punkt des Mittelwertsatzes. Kostenlos, ohne Anmeldung.

Ihre Daten sind

Funktion f(x)

Verwenden Sie + − * / ^ und Klammern. Funktionen: sin, cos, tan, exp, ln, log (Basis 10), sqrt, abs und weitere. Konstanten: pi und e.

Anfang x = a

Ende x = b

Eine Zahl oder Konstante, etwa 1; −2,5 oder pi/2.

Einheit von y (optional)

Einheit von x (optional)

Ergebnisse

Mittlere Änderungsrate

Änderung von y, Δy

Änderung von x, Δx

y am Anfang

y am Ende

Was es bedeutet

Von x = 1 bis x = 3 steigt y um 8, während sich x um 2 ändert: im Mittel 4 pro Einheit von x.

Sekante

y = 4 x - 3

Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch (a, f(a)) und (b, f(b)).

Das Intervall verkleinern

h	Intervall	Mittlere Änderungsrate
1	[1, 2]	3
0,1	[1, 1,1]	2,1
0,01	[1, 1,01]	2,01
0,001	[1, 1,001]	2,001
0,0001	[1, 1,0001]	2,0001

Die mittlere Änderungsrate über [a; a + h] nähert sich der momentanen Änderungsrate f′(1) = 2, wenn h gegen 0 geht.

Mittelwertsatz

Zwischen a und b gibt es einen Punkt c, an dem die momentane Änderungsrate f′(c) gleich dieser mittleren Änderungsrate ist: c ≈ 2.

Graph

y = f(x)
Sekante (Steigung 4)
Tangente bei c, parallel zur Sekante

So verwenden Sie den Rechner für die mittlere Änderungsrate

1. Wählen Sie Funktion oder Tabelle. Für eine Funktion geben Sie f(x) ein, etwa x^2 oder sin(x). Für Daten fügen Sie pro Zeile ein Paar „x; y“ ein; die x-Werte dürfen in beliebiger Reihenfolge stehen.
2. Geben Sie das Intervall ein. Geben Sie den Anfang a und das Ende b an. Bei einer Tabelle müssen beide x-Werte sein, die in Ihren Daten vorkommen.
3. Fügen Sie bei Bedarf Einheiten hinzu. Geben Sie die Einheit von y (Meter) und von x (Sekunde) ein, um das Ergebnis als Satz mit „Meter pro Sekunde“ zu erhalten.
4. Lesen Sie das Ergebnis. Sie erhalten die Rate, Δy und Δx, die Sekante und einen Graphen. Bei einer Funktion sehen Sie außerdem die Grenzwerttabelle und den Punkt des Mittelwertsatzes.

Die Formel

Die mittlere Änderungsrate von f über [a; b] ist (f(b) − f(a)) / (b − a) – die Änderung der Ausgabe geteilt durch die Änderung der Eingabe, also Höhenunterschied durch Strecke. Geometrisch ist sie die Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)). Sie ist negativ, wenn f insgesamt fällt, und null, wenn f dort endet, wo es begann. Sie lässt sich über jedes Intervall berechnen, auch über eines, in dem f zwischendurch steigt und wieder fällt.

Durchgerechnete Beispiele

Eine Funktion. Für f(x) = x² auf [1; 3]: f(1) = 1 und f(3) = 9, also ist die Rate (9 − 1)/(3 − 1) = 4, und die Sekante ist y = 4x − 3. Die momentane Änderungsrate bei x = 1 ist f′(1) = 2, und die mittleren Raten über [1; 1 + h] sind 3 (h = 1), 2,1 (h = 0,1) und 2,01 (h = 0,01): Sie nähern sich 2, wenn h kleiner wird. Der Mittelwertsatz garantiert einen Punkt c in (1; 3) mit f′(c) = 4. Hier ist f′(x) = 2x, also c = 2.

Eine Tabelle. Ein aus der Ruhe fallengelassener Ball ist nach 0, 1, 2, 3 und 4 Sekunden 0; 4,9; 19,6; 44,1 bzw. 78,4 Meter gefallen. Zwischen t = 1 und t = 3 steigt die Fallstrecke von 4,9 auf 44,1, also beträgt die mittlere Geschwindigkeit (44,1 − 4,9)/(3 − 1) = 19,6 Meter pro Sekunde. Die Raten zwischen aufeinanderfolgenden Sekunden sind 4,9; 14,7; 24,5 und 34,3 m/s und steigen gleichmäßig, weil der Ball beschleunigt.

Mittlere gegenüber momentaner Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate beschreibt ein ganzes Intervall; die momentane Änderungsrate ist die Ableitung, also der Grenzwert der mittleren Änderungsrate, wenn das Intervall auf einen Punkt schrumpft. Wo sich die mittleren Raten auf eine Zahl einpendeln, ist diese Zahl f′(a). Haben Sie nur eine Datentabelle, können Sie diesen Grenzwert nicht bilden. Je kleiner jedoch der Abstand zwischen den Messungen, desto besser schätzt die mittlere Änderungsrate die momentane. Verwechseln Sie die mittlere Änderungsrate nicht mit dem Mittelwert einer Funktion, (1/(b − a))∫ f(x)dx. Der gibt die mittlere Höhe des Graphen an, nicht seine mittlere Steigung.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate?: Subtrahieren Sie die Funktionswerte an den beiden Enden und teilen Sie durch die Differenz der Eingaben: (f(b) − f(a))/(b − a). Bei einer Tabelle lesen Sie die y-Werte zu den beiden x-Werten ab und rechnen genauso.
Was bedeutet eine negative mittlere Änderungsrate?: Dass die Ausgabe über das Intervall insgesamt abgenommen hat: Die Sekante fällt. Sie sagt nichts darüber, was dazwischen geschah, denn die Funktion kann zuerst gestiegen und dann stärker gefallen sein.
Worin unterscheidet sie sich von der Steigung einer Geraden?: Bei einer Geraden ist die mittlere Änderungsrate über jedes Intervall gleich und entspricht der Steigung. Bei einer Kurve hängt sie vom gewählten Intervall ab, deshalb braucht man die momentane Änderungsrate (die Ableitung).
Wie gebe ich Einheiten an?: Die Einheit der Rate ist die Einheit von y geteilt durch die Einheit von x. Ist y eine Strecke in Metern und x eine Zeit in Sekunden, ist die Rate in Metern pro Sekunde. Geben Sie beide Einheiten in den Rechner ein, dann erhalten Sie den Satz ausformuliert.
Was besagt der Mittelwertsatz in diesem Zusammenhang?: Ist f auf [a; b] stetig und dazwischen differenzierbar, dann gibt es einen Punkt c in (a; b), an dem die momentane Änderungsrate f′(c) gleich der mittleren Änderungsrate über [a; b] ist. Die Tangente in c verläuft parallel zur Sekante. Der Rechner findet solche Punkte numerisch und zeichnet eine Tangente ein.
Kann ich ihn für ungleich verteilte Daten verwenden?: Ja. Die Rate zwischen zwei beliebigen x-Werten ist für Ihre Daten exakt, und die Tabelle der Raten zwischen aufeinanderfolgenden Punkten kommt mit ungleichen Abständen zurecht, weil jede Zeile durch ihr eigenes Δx teilt.