平均変化率はどのように求めますか？

区間の両端の関数値の差を、入力の差で割ります：(f(b) − f(a))/(b − a)。表の場合は、2つの x の値に対応する y の値を読み取り、同じ計算をします。

平均変化率が負になるとはどういう意味ですか？

区間全体で出力が減少したことを意味し、割線は下向きに傾いています。途中の様子については何も示しません。関数は先に上がってから、さらに大きく下がっているかもしれないからです。

直線の傾きとはどう違いますか？

直線の場合、平均変化率はどの区間でも同じで、傾きに等しくなります。曲線では、選んだ区間によって値が変わるため、瞬間変化率（導関数）という考え方が必要になります。

単位はどのように入力しますか？

変化率の単位は、y の単位を x の単位で割ったものになります。y が距離（メートル）、x が時間（秒）なら、変化率はメートル毎秒です。2つの単位を計算ツールに入力すると、それを書き下した文が得られます。

この文脈での平均値の定理とは何ですか？

f が [a, b] で連続し、その内部で微分可能ならば、(a, b) 内のある点 c で、瞬間変化率 f′(c) が区間 [a, b] の平均変化率に等しくなります。つまり c での接線は割線に平行です。このツールはそのような点を数値的に求め、接線を1本描きます。

等間隔でないデータにも使えますか？

はい。選んだ任意の2つの x の値の間の変化率は、そのデータにとって厳密です。連続する点の変化率の表は、各行を自分の Δx で割るので、間隔が不揃いでも扱えます。

平均変化率計算ツール

関数またはデータの表と2つの x の値を入力すると、その区間の平均変化率（割線の傾き）が求まります。Δy、Δx、割線の式、単位付きの平易な文（メートル毎秒、ドル毎年など）、区間が縮むにつれて瞬間変化率に近づく様子を示す表、平均値の定理の点を表示します。無料、登録不要。

データの形式

関数 f(x)

+ − * / ^ と括弧が使えます。関数：sin, cos, tan, exp, ln, log（底は10）, sqrt, abs など。定数：pi と e。

始点 x = a

終点 x = b

1、−2.5、pi/2 などの数または定数。

y の単位（任意）

x の単位（任意）

結果

平均変化率

出力の変化 Δy

入力の変化 Δx

始点の y

終点の y

その意味

x = 1 から x = 3 まで、x が 2 変わる間に y は増加、その変化量は 8 です。平均すると、x の単位あたり 4 です。

割線

y = 4 x - 3

平均変化率は、(a, f(a)) と (b, f(b)) を通る割線の傾きです。

区間を縮めると

h	区間	平均変化率
1	[1, 2]	3
0.1	[1, 1.1]	2.1
0.01	[1, 1.01]	2.01
0.001	[1, 1.001]	2.001
0.0001	[1, 1.0001]	2.0001

区間 [a, a + h] の平均変化率は、h → 0 のとき瞬間変化率 f′(1) = 2 に近づきます。

平均値の定理

a と b の間に、瞬間変化率 f′(c) がこの平均変化率に等しくなる点 c があります。c ≈ 2。

グラフ

y = f(x)
割線（傾き 4）
c での、割線に平行な接線

平均変化率計算ツールの使い方

1. 関数か表かを選びます。 関数の場合は f(x) を入力します（例：x^2、sin(x)）。データの場合は、1行に「x, y」の組を1つ貼り付けます。x の値は任意の順序で構いません。
2. 区間を入力します。 始点 a と終点 b を入力します。表の場合は、両方ともデータに現れる x の値でなければなりません。
3. 必要なら単位を入力します。 y の単位（メートル）と x の単位（秒）を入力すると、答えが「メートル毎秒」を含む文で表示されます。
4. 結果を読みます。 変化率、Δy と Δx、割線、グラフが表示されます。関数の場合は、極限の表と平均値の定理の点も表示されます。

公式

区間 [a, b] における f の平均変化率は (f(b) − f(a)) / (b − a) です。出力の変化を入力の変化で割ったもので、言い換えれば「上昇量÷水平方向の移動量」です。幾何学的には、点 (a, f(a)) と (b, f(b)) を通る割線の傾きに当たります。f が全体として下がっているときは負になり、始点と同じ値に戻るときは 0 になります。途中で上がったり下がったりしていても、どの区間でも計算できます。

具体例

関数の場合。 f(x) = x² を区間 [1, 3] で考えます。f(1) = 1、f(3) = 9 なので、変化率は (9 − 1)/(3 − 1) = 4 となり、割線は y = 4x − 3 です。x = 1 での瞬間変化率は f′(1) = 2 です。区間 [1, 1 + h] の平均変化率は、h = 1 のとき 3、h = 0.1 のとき 2.1、h = 0.01 のとき 2.01 になり、h が小さくなるにつれて 2 に近づきます。平均値の定理は、(1, 3) の中に f′(c) = 4 となる点 c があることを保証します。ここで f′(x) = 2x なので、c = 2 です。

表の場合。 静止状態から落としたボールは、0、1、2、3、4 秒後にそれぞれ 0、4.9、19.6、44.1、78.4 メートル落下しました。t = 1 から t = 3 の間で距離は 4.9 から 44.1 に増えているので、平均速度は (44.1 − 4.9)/(3 − 1) = 19.6 メートル毎秒 です。1秒ごとの変化率は 4.9、14.7、24.5、34.3 m/s で、ボールが加速しているため、着実に増えていきます。

平均変化率と瞬間変化率

平均変化率は区間全体を表し、瞬間変化率は導関数、すなわち区間が1点に縮んだときの極限です。平均変化率が一つの数に落ち着くとき、その数が f′(a) です。データの表しかない場合は、その極限を求めることはできませんが、測定の間隔が狭いほど、平均変化率は瞬間変化率をよく近似します。平均変化率を、関数の 平均値 (1/(b − a))∫ f(x)dx と混同しないでください。平均値はグラフの平均の高さであり、平均の傾きではありません。

よくある質問

平均変化率はどのように求めますか？: 区間の両端の関数値の差を、入力の差で割ります：(f(b) − f(a))/(b − a)。表の場合は、2つの x の値に対応する y の値を読み取り、同じ計算をします。
平均変化率が負になるとはどういう意味ですか？: 区間全体で出力が減少したことを意味し、割線は下向きに傾いています。途中の様子については何も示しません。関数は先に上がってから、さらに大きく下がっているかもしれないからです。
直線の傾きとはどう違いますか？: 直線の場合、平均変化率はどの区間でも同じで、傾きに等しくなります。曲線では、選んだ区間によって値が変わるため、瞬間変化率（導関数）という考え方が必要になります。
単位はどのように入力しますか？: 変化率の単位は、y の単位を x の単位で割ったものになります。y が距離（メートル）、x が時間（秒）なら、変化率はメートル毎秒です。2つの単位を計算ツールに入力すると、それを書き下した文が得られます。
この文脈での平均値の定理とは何ですか？: f が [a, b] で連続し、その内部で微分可能ならば、(a, b) 内のある点 c で、瞬間変化率 f′(c) が区間 [a, b] の平均変化率に等しくなります。つまり c での接線は割線に平行です。このツールはそのような点を数値的に求め、接線を1本描きます。
等間隔でないデータにも使えますか？: はい。選んだ任意の2つの x の値の間の変化率は、そのデータにとって厳密です。連続する点の変化率の表は、各行を自分の Δx で割るので、間隔が不揃いでも扱えます。