導関数を段階を追って求めるには、どうすればよいですか？

式の最も外側の構造を見極め、対応する規則を適用します。和は項ごとに分け、定数の因子は前に出します。変数を含む2つの部分が掛け合わされていれば積の規則、関数の中に x 以外のものがあれば合成関数の規則を使います。その後、各部分に同じことを繰り返します。上の計算過程もまさにこの順序で、外側から内側へ進んでいます。

合成関数の規則と積の規則は、いつ使い分けますか？

x を含む2つの因子が掛け合わされている場合（x² sin x など）は積の規則を使います。ある関数が別の関数の中に入っている場合（sin(x²) や e^(3x) など）は合成関数の規則を使います。x² sin(3x) のように、両方が必要な問題も多くあります。

2階導関数は何に使われますか？

導関数の導関数で、傾きそのものがどれだけ速く変わるかを測ります。2階導関数が正ならグラフは下に凸（カップのように上へ曲がる）、負なら上に凸です。f′ = 0 の点では、f″ の符号によって極大と極小を見分けられます。

偏導関数も求められますか？

はい、偏導関数を求めるという意味では可能です。x^2 y + sin(y x) のように複数の文字を含む式を入力し、微分する変数を選んでください。他の文字は定数として扱われます。1変数より多い関数では、グラフは非表示になります。

|x| の 0 での導関数はなぜ定義されないのですか？

|x| のグラフは原点で鋭い角を持ちます。原点の左側では傾きが −1、右側では +1 なので、接線が1つに定まりません。0 から離れると、導関数は x/|x| で、x が負なら −1、正なら +1 になります。

log は自然対数ですか、それとも底10ですか？

ここでの log は、関数電卓と同じく底10です。ln は自然対数です。教科によって異なるため、教科書で確認してください。他の底については log(x, b) と入力します。log(x) の導関数は 1/(x ln 10)、ln(x) の導関数は 1/x です。

教科書の答えと、自分の答えの形が違うのはなぜですか？

同じ関数でも、いろいろな書き方があります。たとえば (x + 1)eˣ と xeˣ + eˣ は同じ関数です。形が違う場合は、間違いだと決めつけず、1つか2つの点で両方を評価して比べてください。選んだ点の値を使えば、それができます。

導関数計算ツール

関数を入力すると、その導関数を記号的に求めます。簡約化された結果に加え、各段階で使われた規則（べき乗、積、商、合成、指数）が示されます。選んだ階数（5階まで）の導関数、選んだ点での値、そして関数とその導関数を並べたグラフも得られます。すべてブラウザ内で動作します。無料で、登録は不要です。

微分する関数

+ − * / ^ と括弧を使います。2x、x sin x、(x+1)(x−1) は掛け算になります。関数：sin、cos、tan、sec、csc、cot、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、exp、ln、log（底10）、sqrt、abs。定数：pi と e。小数点はピリオド（.）で書きます。

導関数の階数

x = の点で評価（任意）

2、−1.5、pi/4 のような数値または定数。

x = からのグラフ

x = まで

結果

読み取り方: $f (x) = x^{2} \sin (x)$

導関数

f^{'} (x) = 2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)

x = 1 のとき

sin(1) ≈ 0.84147098

f(x)

2sin(1) + cos(1) ≈ 2.2232443

f′(x)

手順ごとの計算過程

各行は式の一部を外側から順に微分し、使った規則を示します。

積の規則
(uv)′ = u′v + uv′。u = x²、v = sin(x) です。ここで u′ = 2x、v′ = cos(x) です。
d/dx[x² sin(x)] = 2x sin(x) + x² cos(x)
べき乗の規則
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。ここでは n = 2 です。指数を前に下ろし、1 だけ下げます。
d/dx[x²] = 2x
基本的な導関数
sin(x) の標準的な導関数は cos(x) です。
d/dx[sin(x)] = cos(x)

グラフ

f(x)（関数）
f′(x)（導関数）

導関数計算ツールの使い方

1. 関数を入力します。 紙に書くときと同じように書いてください：3x^4 - 2x^2 + 7x、x^2 sin(x)、(x^2+1)/(x-1)、e^(-x^2)。数字や文字と、その後に続くものの間では、掛け算記号を省略できます。そのため 2x や x sin x も使えます。
2. 変数と階数を選びます。 別の文字を選ばない限り、導関数は x で微分されます。他のすべての文字は定数として扱われます。階数 2 なら2階導関数になり、5 まで指定できます。
3. 数値が必要なら点を加えます。 2、-1.5、pi/4 と入力すると、代数で書ける範囲では厳密に（1/2、2sin(1) + cos(1)）、小数でも、その点での関数と導関数の値が得られます。
4. 計算過程を読みます。 まず答えが表示され、次に選んだ階数までのすべての導関数、そして部分式ごとに1行ずつ、使った規則と得られた導関数が表示されます。

計算ツールが適用する規則

規則	公式	例
定数倍	(c·g)′ = c·g′	(5x³)′ = 15x²
和	(f + g)′ = f′ + g′	(x² + sin x)′ = 2x + cos x
べき乗	(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹	(x⁵)′ = 5x⁴、(√x)′ = 1/(2√x)
積	(uv)′ = u′v + uv′	(x² sin x)′ = 2x sin x + x² cos x
商	(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²	(sin x / x)′ = (x cos x − sin x)/x²
合成関数	(f(u))′ = f′(u)·u′	(sin x²)′ = 2x cos x²
指数	(aᵘ)′ = aᵘ·ln a·u′	(2ˣ)′ = 2ˣ ln 2、(e^(−x²))′ = −2x e^(−x²)
一般のべき乗	(uᵛ)′ = uᵛ(v′ ln u + v u′/u)	(xˣ)′ = xˣ(ln x + 1)

認識する基本的な導関数：sin、cos、tan、sec、csc、cot、asin、acos、atan、sinh、cosh、tanh、ln、log（底10）、sqrt、abs。

具体例

積の規則と合成関数の規則。 f(x) = x² sin(x) では、u = x²、v = sin x として積の規則を使うと、u′v + uv′ = 2x sin x + x² cos x です。x = 1 のとき、2 sin 1 + cos 1 ≈ 2.2232443 になります。f(x) = sin(x²) では、外側の関数は正弦、内側は u = x² なので、f′(x) = cos(x²)·2x = 2x cos(x²) です。

商の規則、そして高階導関数。 f(x) = (x² + 1)/(x − 1) では、u′v − uv′ = 2x(x − 1) − (x² + 1) = x² − 2x − 1 なので、f′(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)² です。x = 3 のとき、2/4 = 1/2 になります。もう一度微分すると、2階導関数の分子には (x − 1) の因子があり、それが約分されて f″(x) = 4/(x − 1)³ になります。この計算ツールは、このような因子を約分するため、高階導関数も短い形で得られます。

入力の読み取り方

掛け算。 2x、3(x+1)、(x+1)(x-1)、x sin x は掛け算になります。文字や括弧の後に数字だけを続けることはできません（x2 は推測せず拒否されます）。x*2 または 2x と書いてください。
割り算。 省略された掛け算は、* や / と同じ優先順位で左から右へ計算されます。そのため 1/2x は (1/2)·x を意味します。もう一方の読み方をするには 1/(2x) と書いてください。「読み取り方」の行に、認識された内容がそのまま表示されます。
べき乗。 -x^2 は −(x²)、2^-x は 2 の −x 乗、a^b^c は a^(b^c) です。sin^2(x) は (sin x)² を意味します。sin^-1(x) は曖昧なので拒否されます。asin(x) または 1/sin(x) と入力してください。
括弧なしの関数。 sin x、ln x^2（x² の ln）、sin 2x は単純な引数を1つ取ります。sin x (x+1) は sin(x) と (x+1) の積です。
名前。 変数は1文字です。e はオイラー数、pi または π は円周率、exp(x) は eˣ、ln は自然対数、log は底10の対数です。log(x, 2) は底2の対数です。角度はラジアンです。

注意点

結果は慣例的な形に整えられます。同類項をまとめ、多項式を展開し、共通因子を外に出し、分子と分母の共通因子を約分します。ただし、見た目が違う答えでも正しいことがあります。確かめるには、ある点で両方の式を評価してください。(x − 1) のような因子を約分すると、どの代数システムでも同じように、x = 1 で定義域が広がることがあります。そのため導関数は、元の関数が定義されている場所についてのみ主張されます。

|u| の導関数は u·u′/|u| で、u = 0 では存在しません。グラフはそこで角になります。このツールは、選んだ1つの変数についての明示的な関数を微分し、他の文字は定数として扱います（これが偏導関数の求め方です）。陰関数の微分は行いません。

よくある質問

導関数を段階を追って求めるには、どうすればよいですか？: 式の最も外側の構造を見極め、対応する規則を適用します。和は項ごとに分け、定数の因子は前に出します。変数を含む2つの部分が掛け合わされていれば積の規則、関数の中に x 以外のものがあれば合成関数の規則を使います。その後、各部分に同じことを繰り返します。上の計算過程もまさにこの順序で、外側から内側へ進んでいます。
合成関数の規則と積の規則は、いつ使い分けますか？: x を含む2つの因子が掛け合わされている場合（x² sin x など）は積の規則を使います。ある関数が別の関数の中に入っている場合（sin(x²) や e^(3x) など）は合成関数の規則を使います。x² sin(3x) のように、両方が必要な問題も多くあります。
2階導関数は何に使われますか？: 導関数の導関数で、傾きそのものがどれだけ速く変わるかを測ります。2階導関数が正ならグラフは下に凸（カップのように上へ曲がる）、負なら上に凸です。f′ = 0 の点では、f″ の符号によって極大と極小を見分けられます。
偏導関数も求められますか？: はい、偏導関数を求めるという意味では可能です。x^2 y + sin(y x) のように複数の文字を含む式を入力し、微分する変数を選んでください。他の文字は定数として扱われます。1変数より多い関数では、グラフは非表示になります。
|x| の 0 での導関数はなぜ定義されないのですか？: |x| のグラフは原点で鋭い角を持ちます。原点の左側では傾きが −1、右側では +1 なので、接線が1つに定まりません。0 から離れると、導関数は x/|x| で、x が負なら −1、正なら +1 になります。
log は自然対数ですか、それとも底10ですか？: ここでの log は、関数電卓と同じく底10です。ln は自然対数です。教科によって異なるため、教科書で確認してください。他の底については log(x, b) と入力します。log(x) の導関数は 1/(x ln 10)、ln(x) の導関数は 1/x です。
教科書の答えと、自分の答えの形が違うのはなぜですか？: 同じ関数でも、いろいろな書き方があります。たとえば (x + 1)eˣ と xeˣ + eˣ は同じ関数です。形が違う場合は、間違いだと決めつけず、1つか2つの点で両方を評価して比べてください。選んだ点の値を使えば、それができます。