GCF・LCM計算ツール
2つ以上の整数を入力すると、最大公約数（GCF）と最小公倍数（LCM）が求まります。答えは2つの方法を並べて計算するので、授業で習ったほうに沿って確認できます。ユークリッドの互除法と素因数分解です。最大40桁の数も正確に扱えます。
2つ以上を、カンマまたはスペースで区切って入力します。符号は無視されます。GCFとLCMは絶対値で定義されるためです。
結果
6
最大公約数（GCF）
180
最小公倍数（LCM）
3
比較した数の個数
ユークリッドの互除法によるGCF
大きいほうの数を小さいほうで割り、次に最後の除数を余りで割る、という操作を、余りが0になるまで繰り返します。最後の除数がGCFです。
GCF(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
余りが0になったので、GCF(12, 18) = 6 です。
GCF(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
余りが0になったので、GCF(6, 30) = 6 です。
2つより多い数は、1つずつ順に合わせていきます：GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6。
GCFから求めるLCM
2つの数の場合、LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b) です。それ以上の数は、1つずつ順に合わせていきます。
LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
素因数分解の方法
各数を素数に分解します。GCFは、数どうしが共有するすべての素数を最も小さい乗数で取り、LCMは、現れるすべての素数を最も大きい乗数で取ります。
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| 素数 | 12 | 18 | 30 | GCF（最小の乗数） | LCM（最大の乗数） |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
GCF = 2 × 3 = 6
LCM = 2² × 3² × 5 = 180
GCF・LCM計算ツールの使い方
- 1. 数を入力します。 カンマまたはスペースで区切ります。例：12, 18, 30。2つで十分で、最大12個まで受け付けます。桁区切りのカンマは入れないでください。ここではカンマが次の数の区切りとして扱われるためです。
- 2. 2つの答えを読み取ります。 GCFとLCMが上に表示されます。GCFが1の場合は、互いに素であることも注記されます。
- 3. 習った方法に沿って確認します。 ユークリッドの互除法では、すべての割り算が一覧になります。素因数分解の表では、各素数がそれぞれの数で何乗になるか、そしてGCFとLCMがどの乗数を採るかが示されます。
- 4. 結果をコピーします。 コピーボタンでは、GCF(12, 18, 30) = 6; LCM(12, 18, 30) = 180 のような1行の要約が得られます。
GCFとLCMを求める2つの方法
ユークリッドの互除法
ユークリッドの互除法は、ユークリッドの『原論』第7巻（紀元前300年頃）に由来します。その根拠は1つの事実です。2つの数のGCFは、その余りも割り切ります。そこで、大きい数を小さい数で割り、大きい数を余りで置き換える、という操作を繰り返します。余りが0になったとき、最後の除数がGCFです。48と180の場合は次のとおりです:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → GCF(48, 180) = 12
この方法は数の大きさに関係なく速く、割り算の回数は小さいほうの数の桁数の5倍を超えません。そのため、コンピュータもこの方法を使っており、このツールが40桁の数を瞬時に扱えるのもこのためです。
素因数分解
各数を素数の積として書きます。GCFは、数どうしが共有する素数を、それぞれ最も小さい乗数でかけたものです。LCMは、現れるすべての素数を、それぞれ最も大きい乗数でかけたものです。48 = 2⁴ × 3、180 = 2² × 3² × 5 の場合、GCFは 2² × 3 = 12、LCMは 2⁴ × 3² × 5 = 720 です。この方法では構造が見えますが、素因数分解が必要なので、非常に大きな数では時間がかかります。
2つの数については、答え同士を結ぶ近道もあります：LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)。48と180なら、8640 ÷ 12 = 720 です。このツールは、GCFからLCMを作るときにこの式を使っています。
具体例：12、18、30
- 最初の2数のGCF。 18 = 1 × 12 + 6、次に 12 = 2 × 6 + 0 なので、GCF(12, 18) = 6 です。
- 3つ目の数を加えます。 30 = 5 × 6 + 0 なので、GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6 です。
- LCMは2数ずつ。 LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36、次に LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180 です。
- 素因数で確認します。 12 = 2² × 3、18 = 2 × 3²、30 = 2 × 3 × 5 です。共有する素数を最も小さい乗数でかけると 2 × 3 = 6、すべての素数を最も大きい乗数でかけると 2² × 3² × 5 = 180 です。
GCFまたはLCMが必要になる場面
| 問題 | 使うもの | 例 |
|---|---|---|
| 分数を約分する | GCF | 18/30：両方をGCFの6で割ると 3/5 になります。 |
| 分数を足す | LCM | 1/12 + 1/18：最小公分母は36です。 |
| 等しい組に分ける | GCF | ペン12本と鉛筆18本は、最大で6組の同じキットになります。 |
| 繰り返しの周期を揃える | LCM | 12分おきと18分おきに来るバスは、36分後に再び同時に来ます。 |
| 式を因数分解する | GCF | 12x + 18 = 6(2x + 3)。 |
よくある質問
- GCFとLCMの違いは何ですか？
- 最大公約数（GCF）は、リストのすべての数を割り切る最大の数なので、リストの最も小さい数より大きくなることはありません。最小公倍数（LCM）は、リストのすべての数で割り切れる最小の数なので、最も大きい数より小さくなることはありません。12と18なら、GCFは6、LCMは36です。
- GCF、GCD、HCFは同じものですか？
- はい。英語では、greatest common factor（GCF）、greatest common divisor（GCD）、highest common factor（HCF、イギリスで一般的な呼び方）は、同じ数の3つの呼び方です。日本語ではいずれも最大公約数といいます。LCMは、lowest common multiple とも呼ばれることがあります。
- 2つの素数のGCFは何ですか？
- 1です。素数の約数は1と自分自身だけだからです。GCFが1になる2つの数は互いに素と呼ばれ、そのLCMは単純にそれらの積になります：LCM(7, 11) = 77。素数でなくても互いに素になることがあり、8と15がその例です。
- 3つ以上の数のLCMはどのように求めますか？
- 1組ずつ処理します。最初の2つのLCMを求め、その結果と3つ目の数のLCMを求める、という具合です。あるいは、すべての数を素因数分解し、いずれかの数で現れる最も大きい乗数で各素数をかけます。
- 0を入力できないのはなぜですか？
- すべての整数は0を割り切るので、GCF(0, n) は単に n であり、LCM(0, n) は慣例により 0 です。どちらも計算は必要なく、0には表示できる素因数分解もありません。0を取り除くと、ツールは残りの数を比較します。
- GCF × LCM は、数の積と必ず等しくなりますか？
- 2つの数の場合だけです。GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b が成り立ちます。3つ以上では成り立ちません。たとえば2、4、8ではGCFは2、LCMは8なので、その積は64ではなく16です。