Công Cụ Tính ƯCLN & BCNN
Nhập hai hoặc nhiều số nguyên để nhận ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng. Đáp số được tính theo hai cách song song — thuật toán chia Euclid và phương pháp phân tích thừa số nguyên tố — để bạn có thể theo cách lớp bạn đang học. Các số có tới 40 chữ số được xử lý chính xác.
Hai số trở lên, phân tách bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng. Dấu âm bị bỏ qua: cả hai đều được định nghĩa trên giá trị tuyệt đối.
Kết quả
6
Ước chung lớn nhất (ƯCLN)
180
Bội chung nhỏ nhất (BCNN)
3
Số được so sánh
ƯCLN theo thuật toán Euclid
Chia số lớn cho số nhỏ, rồi chia số chia cuối cùng cho số dư, cho đến khi số dư bằng 0. Số chia cuối cùng là ƯCLN.
ƯCLN(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
Số dư đã bằng 0, nên ƯCLN(12, 18) = 6.
ƯCLN(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
Số dư đã bằng 0, nên ƯCLN(6, 30) = 6.
Với nhiều hơn hai số, gộp từng số một: ƯCLN(ƯCLN(12, 18), 30) = ƯCLN(6, 30) = 6.
BCNN từ ƯCLN
Với hai số, BCNN(a, b) = a × b ÷ ƯCLN(a, b). Với nhiều số hơn, gộp từng số một.
BCNN(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
BCNN(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố
Phân tích mỗi số thành các số nguyên tố. ƯCLN lấy mọi số nguyên tố mà các số cùng có, ở lũy thừa thấp nhất; BCNN lấy mọi số nguyên tố xuất hiện, ở lũy thừa cao nhất.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| Số nguyên tố | 12 | 18 | 30 | ƯCLN (lũy thừa thấp nhất) | BCNN (lũy thừa cao nhất) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
ƯCLN = 2 × 3 = 6
BCNN = 2² × 3² × 5 = 180
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính ƯCLN & BCNN
- 1. Nhập các số. Phân tách bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng: 12, 18, 30. Hai số là đủ; có thể nhập tối đa mười hai số. Đừng viết dấu phân cách hàng nghìn, vì ở đây dấu phẩy bắt đầu một số mới.
- 2. Đọc hai đáp số. ƯCLN và BCNN xuất hiện ở đầu, kèm ghi chú khi ƯCLN là 1 và các số nguyên tố cùng nhau.
- 3. Làm theo phương pháp bạn đã được học. Thuật toán Euclid liệt kê mọi phép chia; bảng thừa số nguyên tố cho thấy lũy thừa của mỗi số nguyên tố trong từng số, và ƯCLN cùng BCNN lấy lũy thừa nào.
- 4. Sao chép kết quả. Nút sao chép cho một dòng tóm tắt như ƯCLN(12, 18, 30) = 6; BCNN(12, 18, 30) = 180.
Hai Cách Tìm ƯCLN và BCNN
Thuật toán Euclid
Thuật toán Euclid, từ Quyển VII của cuốn Elements (khoảng năm 300 TCN), dựa trên một sự thật: ước chung lớn nhất của hai số cũng chia hết cho số dư của chúng. Vì vậy hãy chia số lớn cho số nhỏ, thay số lớn bằng số dư, rồi lặp lại. Khi số dư bằng 0, số chia cuối cùng là ƯCLN. Với 48 và 180:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → ƯCLN(48, 180) = 12
Thuật toán này nhanh bất kể các số lớn đến đâu: số phép chia không bao giờ vượt quá năm lần số chữ số của số nhỏ hơn. Đó là lý do máy tính dùng nó, và cũng là lý do công cụ này làm việc với số 40 chữ số ngay lập tức.
Phân tích thừa số nguyên tố
Viết mỗi số thành tích của các số nguyên tố. ƯCLN là tích của các số nguyên tố mà các số cùng có, mỗi số lấy lũy thừa thấp nhất; BCNN là tích của mọi số nguyên tố xuất hiện, mỗi số lấy lũy thừa cao nhất. Với 48 = 2⁴ × 3 và 180 = 2² × 3² × 5, ƯCLN là 2² × 3 = 12 và BCNN là 2⁴ × 3² × 5 = 720. Phương pháp này làm rõ cấu trúc, nhưng phụ thuộc vào việc phân tích thừa số, và việc đó chậm với các số rất lớn.
Với hai số còn có một cách tắt liên kết hai đáp số: BCNN(a, b) = a × b ÷ ƯCLN(a, b). Với 48 và 180, đó là 8640 ÷ 12 = 720. Công cụ dùng công thức này để xây dựng BCNN từ ƯCLN.
Ví Dụ Minh Họa: 12, 18 và 30
- ƯCLN của cặp đầu. 18 = 1 × 12 + 6, rồi 12 = 2 × 6 + 0, nên ƯCLN(12, 18) = 6.
- Ghép số thứ ba vào. 30 = 5 × 6 + 0, nên ƯCLN(ƯCLN(12, 18), 30) = ƯCLN(6, 30) = 6.
- BCNN, từng cặp một. BCNN(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, rồi BCNN(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- Kiểm tra bằng số nguyên tố. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² và 30 = 2 × 3 × 5. Các số nguyên tố chung ở lũy thừa thấp nhất cho 2 × 3 = 6; mọi số nguyên tố ở lũy thừa cao nhất cho 2² × 3² × 5 = 180.
Khi Nào Cần ƯCLN hoặc BCNN
| Bài toán | Dùng | Ví dụ |
|---|---|---|
| Rút gọn một phân số | ƯCLN | 18/30: chia cả tử và mẫu cho ƯCLN 6 để được 3/5. |
| Cộng phân số | BCNN | 1/12 + 1/18: mẫu số chung nhỏ nhất là 36. |
| Chia thành các nhóm bằng nhau | ƯCLN | 12 bút bi và 18 bút chì tạo được nhiều nhất 6 bộ giống nhau. |
| Xếp các chu kỳ lặp lại | BCNN | Xe buýt đến mỗi 12 phút và mỗi 18 phút sẽ gặp lại nhau sau 36 phút. |
| Phân tích một biểu thức thành nhân tử | ƯCLN | 12x + 18 = 6(2x + 3). |
Câu Hỏi Thường Gặp
- Sự khác nhau giữa ƯCLN và BCNN là gì?
- Ước chung lớn nhất là số lớn nhất chia hết cho mọi số trong danh sách, nên nó không bao giờ lớn hơn số nhỏ nhất trong số đó. Bội chung nhỏ nhất là số nhỏ nhất mà mọi số trong danh sách đều chia hết, nên nó không bao giờ nhỏ hơn số lớn nhất. Với 12 và 18, ƯCLN là 6 và BCNN là 36.
- GCF, GCD và HCF có giống nhau không?
- Có. GCF (greatest common factor), GCD (greatest common divisor) và HCF (highest common factor, thuật ngữ thường dùng ở Anh) đều chỉ cùng một số, tức là ƯCLN. BCNN đôi khi được gọi là bội chung thấp nhất (lowest common multiple).
- ƯCLN của hai số nguyên tố là bao nhiêu?
- Bằng 1, vì một số nguyên tố chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Hai số có ƯCLN bằng 1 được gọi là nguyên tố cùng nhau (coprime hoặc relatively prime), và BCNN của chúng đơn giản là tích của chúng: BCNN(7, 11) = 77. Các số có thể nguyên tố cùng nhau mà không phải số nguyên tố, như 8 và 15.
- Làm sao để tìm BCNN của ba số trở lên?
- Làm từng cặp một: tìm BCNN của hai số đầu, rồi BCNN của kết quả đó với số thứ ba, và cứ thế. Hoặc phân tích mọi số thành các số nguyên tố rồi nhân mỗi số nguyên tố với lũy thừa cao nhất mà nó đạt được trong bất kỳ số nào.
- Tại sao tôi không thể nhập 0?
- Mọi số nguyên đều là ước của 0, nên ƯCLN(0, n) đơn giản là n, và BCNN(0, n) bằng 0 theo quy ước — không cần tính toán, và 0 không có phân tích thừa số nguyên tố để hiển thị. Hãy bỏ số 0 đi, công cụ sẽ so sánh các số còn lại.
- ƯCLN nhân BCNN có luôn bằng tích của các số không?
- Chỉ đúng với hai số: ƯCLN(a, b) × BCNN(a, b) = a × b. Với ba số trở lên thì không — với 2, 4 và 8, ƯCLN là 2 và BCNN là 8, nên tích của chúng là 16, không phải 64.