Calculateur de PGCD et de PPCM

Résultats

PGCD par l'algorithme d'Euclide

Divisez le plus grand nombre par le plus petit, puis divisez le dernier diviseur par le reste, jusqu'à ce que le reste soit 0. Le dernier diviseur est le PGCD.

Avec plus de deux nombres, on les prend un à un : PGCD(PGCD(12, 18), 30) = PGCD(6, 30) = 6.

PPCM à partir du PGCD

Pour deux nombres, PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b). Avec davantage, on procède un à un.

La méthode de décomposition en facteurs premiers

Décomposez chaque nombre en facteurs premiers. Le PGCD prend chaque nombre premier commun à sa puissance la plus faible ; le PPCM prend chaque nombre premier qui apparaît à sa puissance la plus élevée.

Comment utiliser le calculateur de PGCD et de PPCM

1. 1. Saisissez les nombres. Séparez-les par des virgules ou des espaces : 12, 18, 30. Deux nombres suffisent ; jusqu'à douze sont acceptés. N'utilisez pas de séparateurs de milliers, car ici une virgule commence un nouveau nombre.
2. 2. Lisez les deux réponses. Le PGCD et le PPCM apparaissent en haut, avec une remarque lorsque le PGCD vaut 1 et que les nombres sont premiers entre eux.
3. 3. Suivez la méthode qu'on vous a enseignée. L'algorithme d'Euclide liste chaque division ; le tableau de décomposition montre la puissance de chaque nombre premier dans chaque nombre, et celle retenue pour le PGCD et pour le PPCM.
4. 4. Copiez le résultat. Le bouton de copie donne un résumé d'une ligne, par exemple PGCD(12, 18, 30) = 6 ; PPCM(12, 18, 30) = 180.

Deux façons de trouver le PGCD et le PPCM

L'algorithme d'Euclide

L'algorithme d'Euclide, tiré du livre VII de ses Éléments (vers 300 av. J.-C.), repose sur un fait : le PGCD de deux nombres divise aussi leur reste. On divise donc le plus grand nombre par le plus petit, on remplace le plus grand par le reste, et l'on recommence. Lorsque le reste atteint 0, le dernier diviseur est le PGCD. Pour 48 et 180 :

180 = 3 × 48 + 36
48 = 1 × 36 + 12
36 = 3 × 12 + 0  →  PGCD(48, 180) = 12

Il est rapide quelle que soit la taille des nombres : le nombre de divisions ne dépasse jamais cinq fois le nombre de chiffres du plus petit. C'est pourquoi les ordinateurs l'utilisent, et pourquoi ce calculateur peut traiter instantanément des nombres de 40 chiffres.

Décomposition en facteurs premiers

Écrivez chaque nombre comme un produit de nombres premiers. Le PGCD est le produit des nombres premiers que les nombres partagent, chacun à sa puissance la plus faible ; le PPCM est le produit de tous les nombres premiers qui apparaissent, chacun à sa puissance la plus élevée. Avec 48 = 2⁴ × 3 et 180 = 2² × 3² × 5, le PGCD vaut 2² × 3 = 12 et le PPCM vaut 2⁴ × 3² × 5 = 720. La méthode fait apparaître la structure, mais elle repose sur la factorisation, qui devient lente pour de très grands nombres.

Pour deux nombres, il existe aussi un raccourci qui relie les deux réponses : PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b). Pour 48 et 180, cela donne 8640 ÷ 12 = 720. Le calculateur s'en sert pour construire le PPCM à partir du PGCD.

Exemple détaillé : 12, 18 et 30

1. PGCD de la première paire. 18 = 1 × 12 + 6, puis 12 = 2 × 6 + 0, donc PGCD(12, 18) = 6.
2. Intégrer le troisième nombre. 30 = 5 × 6 + 0, donc PGCD(PGCD(12, 18), 30) = PGCD(6, 30) = 6.
3. PPCM, une paire à la fois. PPCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, puis PPCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
4. Vérification avec les nombres premiers. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² et 30 = 2 × 3 × 5. Les nombres premiers communs, à leur puissance la plus faible, donnent 2 × 3 = 6 ; tous les nombres premiers, à leur puissance la plus élevée, donnent 2² × 3² × 5 = 180.

Quand on a besoin du PGCD ou du PPCM

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre le PGCD et le PPCM ?

Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui divise chacun des nombres de la liste ; il n'est donc jamais plus grand que le plus petit d'entre eux. Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre que chacun des nombres de la liste divise ; il n'est donc jamais plus petit que le plus grand. Pour 12 et 18, le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 36.

Le PGCD, le GCD et le HCF sont-ils la même chose ?

Oui. Le plus grand commun diviseur (PGCD), le greatest common divisor (GCD) et le highest common factor (HCF, le terme britannique habituel) désignent le même nombre. Le PPCM est parfois appelé « lowest common multiple ».

Quel est le PGCD de deux nombres premiers ?

C'est 1, car les seuls diviseurs d'un nombre premier sont 1 et lui-même. Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux, et leur PPCM est simplement leur produit : PPCM(7, 11) = 77. Des nombres peuvent être premiers entre eux sans être premiers eux-mêmes, comme 8 et 15.

Comment trouver le PPCM de trois nombres ou plus ?

Procédez deux par deux : trouvez le PPCM des deux premiers, puis le PPCM de ce résultat et du troisième nombre, et ainsi de suite. Vous pouvez aussi décomposer chaque nombre en facteurs premiers et multiplier chaque nombre premier à la puissance la plus élevée qu'il atteint dans l'un d'eux.

Pourquoi ne puis-je pas saisir 0 ?

Tout nombre entier divise 0, donc PGCD(0, n) vaut simplement n, et PPCM(0, n) vaut 0 par convention : aucun calcul n'est nécessaire, et 0 n'a pas de décomposition en facteurs premiers à montrer. Retirez le 0 et le calculateur compare les nombres restants.

Le produit PGCD × PPCM est-il toujours égal au produit des nombres ?

Seulement pour deux nombres : PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b. Avec trois nombres ou plus, cela ne fonctionne plus : pour 2, 4 et 8, le PGCD vaut 2 et le PPCM vaut 8, donc leur produit vaut 16, et non 64.