Calculateur d'exposants

Résultats

Le calcul

• Écrivez l'exposant 10 en binaire : 1010. Cela signifie 10 = 2 + 8.
• Élevez au carré de façon répétée : 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• Multipliez les puissances correspondant aux chiffres 1 du binaire : 2² × 2⁸ = 1024.

Les règles des exposants avec vos nombres

Avec votre base et les deux exposants entiers, les deux membres de chaque règle donnent le même résultat.

Comment utiliser le calculateur d'exposants

1. 1. Saisissez la base. Un nombre entier, un décimal ou une fraction : 2, −1,5 ou 3/4. Pour élever un nombre négatif à une puissance, placez le signe moins dans la base : saisir −2 calcule (−2)ⁿ.
2. 2. Saisissez l'exposant. Les nombres entiers (10), négatifs (−3), décimaux (0,5) et fractions (2/3) sont acceptés. Les décimales sont lues comme des fractions exactes : 0,5 vaut 1/2.
3. 3. Lisez le résultat. Les puissances à exposant entier apparaissent en entier, avec un nombre de chiffres et, pour les grandes valeurs, la notation scientifique. Les exposants négatifs donnent une fraction et une décimale ; les racines donnent une réponse exacte lorsqu'elle existe, sinon une décimale aux positions choisies.
4. 4. Suivez le calcul et les règles. Les étapes ci-dessous montrent comment la puissance est construite, et le tableau des règles vérifie les règles du produit, du quotient et de la puissance sur votre base.

Ce que signifie un exposant

Pour un entier n ≥ 1, bⁿ signifie b multiplié par lui-même n fois : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Tous les autres types d'exposants sont définis de façon que les mêmes règles continuent de s'appliquer. Un exposant nul donne 1 (pour b ≠ 0), car b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Un exposant négatif est un inverse : b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, donc 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Un exposant fractionnaire est une racine suivie d'une puissance : b^(p/q) est la racine q-ième de b élevée à la puissance p, donc 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Exemple détaillé : 2¹³ par carrés successifs

Pour les grands exposants entiers, le calculateur montre comment un ordinateur, ou une personne patiente, construit la puissance avec peu de multiplications. On écrit l'exposant en binaire, on élève la base au carré plusieurs fois, puis on multiplie les carrés correspondant aux chiffres 1.

• 13 s'écrit 1101 en binaire, donc 13 = 1 + 4 + 8.
• Carrés successifs : 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
• Multiplication des puissances correspondantes : 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
• Trois élévations au carré et deux multiplications remplacent douze multiplications effectuées une à une.

Très grands résultats

Les puissances à exposant entier sont calculées par arithmétique exacte sur grands entiers, sans aucun arrondi quelle que soit la taille : 2¹⁰⁰ vaut 1267650600228229401496703205376 jusqu'au dernier chiffre, que l'arithmétique à virgule flottante ne peut qu'approcher par 1,2676506002282294 × 10³⁰. Les résultats allant jusqu'à 20 000 chiffres sont écrits en entier ; au-delà, le calculateur donne un ordre de grandeur obtenu par logarithmes (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) et l'indique.

Conventions à connaître

• 0⁰ = 1. C'est la convention de la combinatoire, des séries entières et de la plupart des logiciels ; certains textes d'analyse le laissent indéfini, et le calculateur signale ce cas.
• Zéro à une puissance négative est indéfini, puisque cela reviendrait à diviser par zéro.
• Bases négatives avec exposants fractionnaires. L'exposant est d'abord réduit à sa forme irréductible. Si son dénominateur est impair, la racine réelle est utilisée, donc (−8)^(1/3) = −2 et (−8)^(2/3) = 4. S'il est pair, il n'y a pas de réponse réelle : (−4)^(1/2) est le nombre complexe 2i.
• −2² et (−2)² diffèrent. Écrit comme expression, −2² signifie −(2²) = −4. Ici la base est un nombre : saisir −2 avec l'exposant 2 donne 4.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un exposant négatif ?

Un exposant négatif signifie un inverse, et non un résultat négatif. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Le signe du résultat ne dépend que de la base, donc (−2)⁻³ = −1/8.

Que signifie un exposant fractionnaire ?

Le dénominateur est la racine et le numérateur la puissance. 27^(2/3) est la racine cubique de 27, soit 3, élevée au carré, ce qui donne 9. Un exposant de 1/2 est une racine carrée, donc 9^0,5 = 3.

Pourquoi tout nombre à la puissance zéro vaut-il 1 ?

Parce que la règle du quotient l'exige : bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, et tout nombre non nul divisé par lui-même vaut 1. Le cas de 0⁰ est une convention distincte, généralement prise égale à 1.

2³² est-il égal à (2³)² ?

Non. Un exposant empilé se calcule de haut en bas, donc 2^(3²) = 2⁹ = 512, alors que (2³)² = 8² = 64. Pour obtenir le premier, saisissez 9 comme exposant ; pour le second, saisissez 6.

(a + b)² est-il égal à a² + b² ?

Non. (a + b)² = a² + 2ab + b². Les règles des exposants s'appliquent aux produits, comme (ab)², mais pas aux sommes. Pour a = 3 et b = 4, (3 + 4)² = 49, alors que 3² + 4² = 25.

Comment trouver la valeur exacte d'une très grande puissance ?

Utilisez une arithmétique sur grands entiers plutôt qu'une calculatrice à virgule flottante. Cet outil le fait pour les exposants entiers et affiche chaque chiffre, jusqu'à un résultat de 20 000 chiffres.