Что такое отрицательный показатель?

Отрицательный показатель означает обратную величину, а не отрицательный результат. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Знак результата зависит только от основания, поэтому (−2)⁻³ = −1/8.

Что означает дробный показатель?

Знаменатель — это корень, а числитель — степень. 27^(2/3) — это кубический корень из 27, то есть 3, возведённое в квадрат, то есть 9. Показатель 1/2 — это квадратный корень, поэтому 9^0,5 = 3.

Почему любое число в нулевой степени равно 1?

Так требует правило частного: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, а ненулевое число, делённое на себя, равно 1. Случай 0⁰ — отдельное соглашение, обычно принимаемое за 1.

Равно ли 2³² то же, что (2³)²?

Нет. Наложенные показатели вычисляются сверху вниз, поэтому 2^(3²) = 2⁹ = 512, а (2³)² = 8² = 64. Чтобы получить первое, введите 9 как показатель; для второго введите 6.

Равно ли (a + b)² сумме a² + b²?

Нет. (a + b)² = a² + 2ab + b². Законы степеней применяются к произведениям, например (ab)², но не к суммам. При a = 3 и b = 4 получаем (3 + 4)² = 49, а 3² + 4² = 25.

Как найти точное значение очень большой степени?

Используйте арифметику больших целых чисел, а не калькулятор с плавающей запятой. Этот инструмент делает это для целых показателей и показывает все цифры результата — до 20 000 цифр.

Калькулятор степени

Введите основание и показатель, чтобы получить точную степень: целые результаты до последней цифры, дроби для отрицательных показателей, точные корни, когда они существуют, и десятичные приближения, когда их нет. Решение расписано по шагам, а таблица проверяет законы степеней на ваших числах. Бесплатно, без регистрации.

Основание

Целое число, десятичная дробь или дробь, например 2, −1,5 или 3/4.

Показатель

Целый, отрицательный, десятичный или дробный: 10, −3, 0,5 или 2/3.

Второй показатель (для законов степеней)

Используется только в таблице законов ниже; целые числа.

Знаков после запятой для иррациональных результатов

Результаты

1024

Результат

Цифр в результате

Решение

Запишите показатель 10 в двоичной системе: 1010. Это значит, что 10 = 2 + 8.
Возводите в квадрат последовательно: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
Перемножьте степени, соответствующие двоичным цифрам: 2² × 2⁸ = 1024.

Законы степеней на ваших числах

Для вашего основания и двух целых показателей обе части каждого закона совпадают.

Закон	Правило	На ваших числах
Правило произведения	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192
Правило частного	aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128
Степень степени	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824
Отрицательный показатель	a⁻ⁿ = 1 / aⁿ	2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125
Нулевой показатель	a⁰ = 1 (a ≠ 0)	2⁰ = 1

Как пользоваться калькулятором степени

1. Введите основание. Целое число, десятичную дробь или дробь: 2, −1,5 или 3/4. Чтобы возвести отрицательное число в степень, ставьте минус в основании: ввод −2 вычисляет (−2)ⁿ.
2. Введите показатель. Работают целые (10), отрицательные (−3), десятичные (0,5) и дробные (2/3) показатели. Десятичные дроби читаются как точные дроби, поэтому 0,5 — это 1/2.
3. Прочитайте результат. Степени с целым показателем выводятся полностью, с числом цифр и, для больших значений, в научной записи. Отрицательные показатели дают дробь и десятичное значение; корни дают точный ответ, если он существует, а иначе — десятичную дробь с выбранным числом знаков.
4. Следите за решением и законами. Шаги ниже показывают, как строится степень, а таблица законов проверяет правила произведения, частного и возведения в степень на вашем основании.

Что означает степень

Для натурального n ≥ 1 запись bⁿ означает, что b умножено само на себя n раз: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Все остальные показатели определены так, чтобы те же правила продолжали работать. Нулевой показатель даёт 1 (при b ≠ 0), потому что b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Отрицательный показатель — это обратная величина: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, так что 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Дробный показатель — это корень и степень: b^(p/q) — это корень q-й степени из b, возведённый в степень p, так что 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.

Законы степеней (b ≠ 0, целые m и n)
Закон	Правило	Пример
Произведение	bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ	2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128
Частное	bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ	2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16
Степень степени	(bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ	(2³)² = 2⁶ = 64
Степень произведения	(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	(2 × 3)² = 2² × 3² = 36
Отрицательный показатель	b⁻ⁿ = 1 / bⁿ	2⁻³ = 1/8
Нулевой показатель	b⁰ = 1	2⁰ = 1

Разобранный пример: 2¹³ возведением в квадрат

Для больших целых показателей калькулятор показывает, как степень строится за небольшое число умножений — так её строит компьютер или терпеливый человек. Запишите показатель в двоичной системе, последовательно возводите основание в квадрат и перемножьте квадраты, которые соответствуют единицам в двоичной записи.

13 в двоичной записи — 1101, то есть 13 = 1 + 4 + 8.
Последовательное возведение в квадрат: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
Перемножаем соответствующие степени: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
Три возведения в квадрат и два умножения заменяют двенадцать последовательных умножений.

Очень большие результаты

Целые степени вычисляются точной арифметикой больших целых чисел, поэтому округления нет при любом размере: 2¹⁰⁰ — это 1267650600228229401496703205376 до последней цифры, а арифметика с плавающей запятой может дать лишь приближение 1,2676506002282294 × 10³⁰. Результаты до 20 000 цифр выписываются полностью; дальше калькулятор даёт оценку порядка по логарифмам (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) и сообщает об этом.

Условности, которые стоит знать

0⁰ = 1. Это принятое соглашение в комбинаторике, степенных рядах и большинстве программ; некоторые тексты по анализу оставляют этот случай неопределённым, и калькулятор на это указывает.
Ноль в отрицательной степени не определён, так как это означало бы деление на ноль.
Отрицательные основания с дробными показателями. Показатель сначала приводится к несократимому виду. Если его знаменатель нечётный, берётся действительный корень, так что (−8)^(1/3) = −2 и (−8)^(2/3) = 4. Если знаменатель чётный, действительного ответа нет: (−4)^(1/2) — это комплексное число 2i.
−2² и (−2)² различаются. Записанные как выражение, −2² означает −(2²) = −4. Здесь основание — число, и ввод −2 с показателем 2 даёт 4.

Часто задаваемые вопросы

Что такое отрицательный показатель?: Отрицательный показатель означает обратную величину, а не отрицательный результат. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Знак результата зависит только от основания, поэтому (−2)⁻³ = −1/8.
Что означает дробный показатель?: Знаменатель — это корень, а числитель — степень. 27^(2/3) — это кубический корень из 27, то есть 3, возведённое в квадрат, то есть 9. Показатель 1/2 — это квадратный корень, поэтому 9^0,5 = 3.
Почему любое число в нулевой степени равно 1?: Так требует правило частного: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, а ненулевое число, делённое на себя, равно 1. Случай 0⁰ — отдельное соглашение, обычно принимаемое за 1.
Равно ли 2³² то же, что (2³)²?: Нет. Наложенные показатели вычисляются сверху вниз, поэтому 2^(3²) = 2⁹ = 512, а (2³)² = 8² = 64. Чтобы получить первое, введите 9 как показатель; для второго введите 6.
Равно ли (a + b)² сумме a² + b²?: Нет. (a + b)² = a² + 2ab + b². Законы степеней применяются к произведениям, например (ab)², но не к суммам. При a = 3 и b = 4 получаем (3 + 4)² = 49, а 3² + 4² = 25.
Как найти точное значение очень большой степени?: Используйте арифметику больших целых чисел, а не калькулятор с плавающей запятой. Этот инструмент делает это для целых показателей и показывает все цифры результата — до 20 000 цифр.