Калькулятор геометрической прогрессии
Введите первый член и знаменатель, чтобы получить любой член геометрической прогрессии, сумму первых n членов и — когда знаменатель между −1 и 1 — сумму всего бесконечного ряда. Или укажите два известных члена, и калькулятор восстановит a₁ и r. Ответы точные, в виде дробей, а каждая формула показана с вашими подставленными числами. Бесплатно, без регистрации.
Умножайте на него каждый раз. Отрицательный знаменатель делает знаки чередующимися.
Целое число от 1 до 2000.
Результаты
1536
Член a₁₀
3069
Сумма первых членов S₁₀, где n = 10
Конечной суммы нет
Сумма всех членов, S∞
2
Знаменатель, r
3
Первый член
|r| больше 1, поэтому члены растут неограниченно.
Общая формула
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Ход решения
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
Бесконечный ряд сходится только при |r| < 1. При |r| ≥ 1 члены не уменьшаются, поэтому сумма не имеет конечного значения.
Последовательность
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Как пользоваться калькулятором геометрической прогрессии
- 1. Выберите, что вам известно. Первый член и знаменатель — обычный случай. Два члена последовательности решает задачи вида «2-й член равен 6, а 5-й — 162». Найти, где стоит значение показывает, какой член равен числу.
- 2. Введите значения. Подходят целые числа, десятичные дроби и дроби вида 1/2. Знаменатель может быть отрицательным или дробным. Номера членов — от 1 до 2000.
- 3. Прочитайте карточки. Вы получите член aₙ, сумму Sₙ, сумму до бесконечности — или Конечной суммы нет, когда |r| ≥ 1, — а также знаменатель и первый член. Значения длиннее 40 цифр показываются в экспоненциальной записи.
- 4. Следите за ходом решения. Формулы записаны с вашими числами, за ними следуют первые несколько членов.
Формулы
Геометрическая прогрессия умножается на один и тот же знаменатель r, чтобы перейти от каждого члена к следующему: a₁, a₁r, a₁r², …. Поэтому n-й член и сумма первых n членов равны:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (только при |r| < 1)
Формула суммы получается вычитанием r·Sₙ из Sₙ: почти все члены сокращаются, и остаётся Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). При |r| < 1 величина rⁿ стремится к 0 с ростом n, поэтому частичные суммы сходятся к a₁ ÷ (1 − r). При |r| ≥ 1 они не сходятся, и бесконечный ряд не имеет конечной суммы.
Примеры
- Член и сумма. Для 3, 6, 12, … a₁ = 3 и r = 2. Десятый член равен 3 × 2⁹ = 1536, а сумма первых десяти равна 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069.
- По двум членам. Если a₂ = 6 и a₅ = 162, то r³ = 162 ÷ 6 = 27, значит r = 3. Тогда a₁ = 6 ÷ 3 = 2, и последовательность: 2, 6, 18, 54, 162, …. Когда два члена разделены чётным числом шагов, например r² = 4, есть два действительных ответа (2 и −2), и калькулятор показывает оба.
- Бесконечная сумма. Для 8, −8/3, 8/9, … a₁ = 8 и r = −1/3, поэтому S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. Та же формула показывает, почему 0,999… = 1: это 0,9 + 0,09 + 0,009 + … с a₁ = 0,9 и r = 0,1, поэтому S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- Шахматная доска. Одна крупинка на первой клетке и удвоение на каждой из 64 клеток: a₁ = 1, r = 2, n = 64, поэтому S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 крупинок.
| Знаменатель r | Что делает последовательность | Бесконечная сумма |
|---|---|---|
| r > 1 | Растёт неограниченно | Нет |
| r = 1 | Постоянна | Нет (кроме случая a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Уменьшается к 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Меняет знак и уменьшается | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Чередуется между a₁ и −a₁ | Нет |
| r < −1 | Чередуется и растёт | Нет |
Часто задаваемые вопросы
- Какая формула n-го члена геометрической прогрессии?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), где a₁ — первый член, а r — знаменатель. Для 5, 10, 20, … получается aₙ = 5 · 2^(n − 1), поэтому 8-й член равен 5 × 128 = 640.
- Как найти знаменатель?
- Разделите любой член на предыдущий. В 4, 12, 36, 108 каждое деление даёт 3. Если известны только два члена, не соседние, извлеките корень степени k из их частного, где k — число шагов между ними: при a₂ = 6 и a₅ = 162 r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Когда у бесконечной геометрической прогрессии есть сумма?
- Именно тогда, когда |r| < 1: знаменатель между −1 и 1, не включая их. Тогда S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Для 1 + 1/2 + 1/4 + … это 1 ÷ (1/2) = 2. Если |r| ≥ 1, члены не уменьшаются, и сумма не имеет конечного значения.
- В чём разница между арифметической и геометрической прогрессиями?
- Арифметическая прогрессия прибавляет постоянное число (2, 5, 8, 11); геометрическая умножает на постоянное число (2, 6, 18, 54). В первой постоянны разности, во второй — отношения. Решатель числовых последовательностей проверит оба варианта за вас.
- Может ли знаменатель быть отрицательным или дробным?
- Да. Отрицательный знаменатель делает знаки чередующимися (3, −6, 12, −24), а дробь между −1 и 1 делает члены уменьшающимися (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Знаменатель 0 здесь допустим, но тогда все члены после первого равны 0.
- Что даёт формула суммы при r = 1?
- Формула a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) делила бы на ноль, поэтому используйте Sₙ = n · a₁: каждый член равен a₁, а их n. Калькулятор переключается на эту форму автоматически.
- Где в жизни встречаются геометрические прогрессии?
- Сложный процент — геометрический: 1000 под 5% годовых через n лет стоят 1000 · 1,05ⁿ. Рост населения, амортизация, радиоактивный распад и высота отскоков мяча подчиняются той же закономерности, с знаменателем больше или меньше 1.