等比数列计算器
输入首项和公比,即可得到等比数列的任意一项、前 n 项之和,以及——当公比介于 −1 与 1 之间时——整个无穷级数的和。若您已知两项,计算器也能反推出 a₁ 和 r。结果为精确分数,每个公式都会代入您的数字并展示。免费,无需注册。
每次乘以此数。负数会使符号交替出现。
从 1 到 2000 的整数。
结果
1536
项 a₁₀
3069
前 10 项之和 S₁₀
没有有限和
所有项之和,S∞
2
公比
3
首项
|r| 大于 1,因此各项无限增大。
通项公式
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
计算过程
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
无穷级数只有在 |r| < 1 时才收敛。当 |r| 大于或等于 1 时,各项不会缩小,因此和没有有限值。
数列
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
如何使用等比数列计算器
- 1. 选择您已知道的内容。 首项与公比是最常见的情况。数列中的两项可处理诸如“第 2 项是 6,第 5 项是 162”之类的问题。求某个值所在的位置会告诉您哪一项等于某个数。
- 2. 输入数值。 整数、小数以及分数(如 1/2)都可以。公比可以为负数或分数。项数从 1 到 2000。
- 3. 查看卡片。 您会得到第 aₙ 项、和 Sₙ、无穷和(当 |r| ≥ 1 时显示没有有限和)、公比和首项。超过 40 位的数值以科学记数法显示。
- 4. 查看计算过程。 公式会代入您的数字写出,随后列出前几项。
公式
等比数列每一项乘以同一个公比 r 得到下一项:a₁、a₁r、a₁r²、……。因此第 n 项与前 n 项之和为:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (仅当 |r| < 1 时)
求和公式来自 Sₙ 减去 r·Sₙ:几乎所有项都相互抵消,只剩下 Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ)。当 |r| < 1 时,rⁿ 随 n 增大而趋近于 0,因此部分和稳定在 a₁ ÷ (1 − r)。当 |r| ≥ 1 时,部分和不会稳定,无穷级数没有有限的和。
示例
- 项与和。 对于 3、6、12、……,a₁ = 3,r = 2。第 10 项为 3 × 2⁹ = 1536,前 10 项之和为 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069。
- 由两项求出。 若 a₂ = 6 且 a₅ = 162,则 r³ = 162 ÷ 6 = 27,因此 r = 3。然后 a₁ = 6 ÷ 3 = 2,该数列为 2、6、18、54、162、……。当两项之间相隔偶数步时(例如 r² = 4),会有两个实数解(2 和 −2),计算器会同时显示两者。
- 无穷和。 对于 8、−8/3、8/9、……,a₁ = 8,r = −1/3,因此 S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6。同一公式也说明了为什么 0.999… = 1:它是 0.9 + 0.09 + 0.009 + ……,其中 a₁ = 0.9,r = 0.1,因此 S∞ = 0.9 ÷ 0.9 = 1。
- 棋盘麦粒。 第一格放 1 粒,之后 64 格每格翻倍:a₁ = 1,r = 2,n = 64,因此 S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18446744073709551615 粒。
| 公比 r | 数列的变化 | 无穷和 |
|---|---|---|
| r > 1 | 无限增大 | 无 |
| r = 1 | 保持不变 | 无(除非 a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | 趋近于 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | 符号交替并逐渐缩小 | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | 在 a₁ 与 −a₁ 之间交替 | 无 |
| r < −1 | 交替且增大 | 无 |
常见问题
- 等比数列第 n 项的公式是什么?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1),其中 a₁ 为首项,r 为公比。对于 5、10、20、……,aₙ = 5 · 2^(n − 1),因此第 8 项为 5 × 128 = 640。
- 如何求公比?
- 用任意一项除以它前面的一项。在 4、12、36、108 中,每次相除都得到 3。如果您只知道两个不相邻的项,则取它们之商的 k 次方根,其中 k 为两项之间的步数:若 a₂ = 6 且 a₅ = 162,则 r = ∛(162 ÷ 6) = 3。
- 无穷等比级数何时有和?
- 恰好当 |r| < 1 时——公比介于 −1 与 1 之间,不包括两端。此时 S∞ = a₁ ÷ (1 − r)。对于 1 + 1/2 + 1/4 + ……,则为 1 ÷ (1/2) = 2。若 |r| ≥ 1,各项不会缩小,和没有有限值。
- 等差数列与等比数列有什么区别?
- 等差数列每次加上一个常数(2、5、8、11);等比数列每次乘以一个常数(2、6、18、54)。前者的差为常数,后者的比为常数。数列求解器可以为您同时检验这两种情况。
- 公比可以是负数或分数吗?
- 可以。负的公比会使符号交替出现(3、−6、12、−24),而介于 −1 与 1 之间的分数会使各项缩小(81、27、9、3、1、1/3)。此处允许公比为 0,但此时首项之后的每一项都是 0。
- 当 r = 1 时,和的公式给出什么?
- 公式 a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) 会除以零,因此改用 Sₙ = n · a₁:每一项都等于 a₁,且共有 n 项。计算器会自动切换到这一形式。
- 等比数列在现实生活中出现在哪里?
- 复利是等比的:1000 元以每年 5% 计息,n 年后价值为 1000 · 1.05ⁿ。人口增长、折旧、放射性衰变以及小球的反弹高度,都遵循同样的模式,只是公比大于或小于 1。