Calculadora de progressão geométrica
Digite o primeiro termo e a razão comum para obter qualquer termo de uma progressão geométrica, a soma dos primeiros n termos e — quando a razão está entre −1 e 1 — a soma de toda a série infinita. Ou informe dois termos que você conhece e a calculadora encontra a₁ e r. As respostas são frações exatas, e cada fórmula é mostrada com os seus números substituídos. Grátis, sem cadastro.
Multiplique por isto a cada vez. Um valor negativo faz os sinais alternarem.
Um número inteiro de 1 a 2000.
Resultados
1536
Termo a₁₀
3069
Soma S₁₀ dos primeiros 10 termos
Não há soma finita
Soma de todos os termos, S∞
2
Razão comum
3
Primeiro termo
|r| é maior que 1, então os termos crescem sem limite.
Fórmula geral
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Cálculo
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
A série infinita converge apenas quando |r| < 1. Com |r| igual a 1 ou mais, os termos não diminuem, então a soma não tem valor finito.
A sequência
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Como usar a calculadora de progressão geométrica
- 1. Escolha o que você sabe. Primeiro termo e razão comum é o caso usual. Dois termos da sequência resolve perguntas como "o 2º termo é 6 e o 5º é 162". Descobrir onde um valor está mostra qual termo é igual a um número.
- 2. Digite os valores. Números inteiros, decimais e frações como 1/2 funcionam. A razão pode ser negativa ou uma fração. Os números dos termos vão de 1 a 2.000.
- 3. Leia os cartões. Você obtém o termo aₙ, a soma Sₙ, a soma até o infinito — ou Não há soma finita quando |r| ≥ 1 —, a razão e o primeiro termo. Valores com mais de 40 dígitos são mostrados em notação científica.
- 4. Acompanhe o cálculo. As fórmulas são escritas com os seus números, seguidas dos primeiros termos.
As fórmulas
Uma progressão geométrica multiplica pela mesma razão comum r para ir de cada termo ao seguinte: a₁, a₁r, a₁r², …. Assim, o n-ésimo termo e a soma dos primeiros n termos são:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (somente quando |r| < 1)
A fórmula da soma vem de subtrair r·Sₙ de Sₙ: quase todos os termos se cancelam, restando Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). Quando |r| < 1, rⁿ diminui em direção a 0 à medida que n cresce, então as somas parciais se estabilizam em a₁ ÷ (1 − r). Quando |r| ≥ 1, elas não se estabilizam, e a série infinita não tem soma finita.
Exemplos práticos
- Termo e soma. Para 3, 6, 12, … a₁ = 3 e r = 2. O 10º termo é 3 × 2⁹ = 1.536 e a soma dos primeiros 10 é 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3.069.
- A partir de dois termos. Se a₂ = 6 e a₅ = 162, então r³ = 162 ÷ 6 = 27, logo r = 3. Então a₁ = 6 ÷ 3 = 2, e a sequência é 2, 6, 18, 54, 162, …. Quando os dois termos estão separados por um número par de passos — por exemplo, r² = 4 —, há duas respostas reais (2 e −2), e a calculadora mostra ambas.
- Soma infinita. Para 8, −8/3, 8/9, … a₁ = 8 e r = −1/3, então S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. A mesma fórmula mostra por que 0,999… = 1: é 0,9 + 0,09 + 0,009 + … com a₁ = 0,9 e r = 0,1, então S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- O tabuleiro de xadrez. Um grão na primeira casa, dobrando em cada uma das 64 casas: a₁ = 1, r = 2, n = 64, então S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 grãos.
| Razão r | O que a sequência faz | Soma infinita |
|---|---|---|
| r > 1 | Cresce sem limite | Nenhuma |
| r = 1 | Constante | Nenhuma (a menos que a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Diminui em direção a 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Alterna o sinal e diminui | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Alterna entre a₁ e −a₁ | Nenhuma |
| r < −1 | Alterna e cresce | Nenhuma |
Perguntas frequentes
- Qual é a fórmula do n-ésimo termo de uma progressão geométrica?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), em que a₁ é o primeiro termo e r é a razão comum. Para 5, 10, 20, … ela dá aₙ = 5 · 2^(n − 1), então o 8º termo é 5 × 128 = 640.
- Como se encontra a razão comum?
- Divida qualquer termo pelo anterior. Em 4, 12, 36, 108, cada divisão dá 3. Se você só conhece dois termos que não são vizinhos, extraia a raiz de ordem k do quociente deles, em que k é o número de passos entre eles: com a₂ = 6 e a₅ = 162, r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Quando uma série geométrica infinita tem soma?
- Exatamente quando |r| < 1 — a razão está entre −1 e 1, sem incluí-los. Então S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Para 1 + 1/2 + 1/4 + … isso dá 1 ÷ (1/2) = 2. Se |r| ≥ 1, os termos não diminuem e a soma não tem valor finito.
- Qual é a diferença entre progressões aritméticas e geométricas?
- Uma progressão aritmética soma uma constante (2, 5, 8, 11); uma geométrica multiplica por uma constante (2, 6, 18, 54). As diferenças são constantes na primeira; as razões são constantes na segunda. O Number Sequence Solver testa as duas para você.
- A razão comum pode ser negativa ou fracionária?
- Pode. Uma razão negativa faz os sinais alternarem (3, −6, 12, −24), e uma fração entre −1 e 1 faz os termos diminuírem (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Uma razão 0 é permitida aqui, mas todo termo depois do primeiro é então 0.
- O que a fórmula da soma dá quando r = 1?
- A fórmula a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) dividiria por zero, então use Sₙ = n · a₁: todo termo é igual a a₁, e há n deles. A calculadora muda automaticamente para essa forma.
- Onde as progressões geométricas aparecem na vida real?
- Os juros compostos são geométricos: 1.000 a 5% ao ano valem 1.000 · 1,05ⁿ após n anos. Crescimento populacional, depreciação, decaimento radioativo e as alturas dos quiques de uma bola seguem o mesmo padrão, com uma razão acima ou abaixo de 1.