Kalkulator ciągu geometrycznego
Wpisz pierwszy wyraz i iloraz wspólny, aby otrzymać dowolny wyraz ciągu geometrycznego, sumę pierwszych n wyrazów i — gdy iloraz leży między −1 a 1 — sumę całego szeregu nieskończonego. Albo podaj dwa znane wyrazy, a kalkulator wyliczy a₁ i r. Wyniki są dokładnymi ułamkami, a każdy wzór pokazany jest z podstawionymi twoimi liczbami. Za darmo, bez rejestracji.
Mnożysz przez niego za każdym razem. Wartość ujemna sprawia, że znaki się przeplatają.
Liczba całkowita od 1 do 2000.
Wyniki
1536
Wyraz a₁₀
3069
Suma S₁₀ pierwszych 10 wyrazów
Brak skończonej sumy
Suma wszystkich wyrazów, S∞
2
Iloraz wspólny
3
Pierwszy wyraz
|r| jest większe od 1, więc wyrazy rosną bez ograniczeń.
Wzór ogólny
aₙ = 3 · 2^(n − 1)
Obliczenia
a₁₀ = a₁ · r^(n − 1) = 3 · 2^(10 − 1) = 1536
S₁₀ = a₁(1 − r^n) ÷ (1 − r) = 3 × (1 − 2^10) ÷ (1 − 2) = 3069
Nieskończony szereg jest zbieżny tylko wtedy, gdy |r| < 1. Przy |r| równym 1 lub większym wyrazy nie maleją, więc suma nie ma wartości skończonej.
Ciąg
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, …, 1536
Jak korzystać z kalkulatora ciągu geometrycznego
- 1. Wybierz, co znasz. Pierwszy wyraz i iloraz wspólny to zwykły przypadek. Dwa wyrazy ciągu obsługuje pytania typu „2. wyraz to 6, a 5. to 162”. Znajdź, gdzie leży wartość mówi, który wyraz równa się danej liczbie.
- 2. Wpisz wartości. Działają liczby całkowite, dziesiętne i ułamki, na przykład 1/2. Iloraz może być ujemny lub ułamkiem. Numery wyrazów sięgają od 1 do 2000.
- 3. Odczytaj karty. Otrzymujesz wyraz aₙ, sumę Sₙ, sumę do nieskończoności — albo Brak skończonej sumy, gdy |r| ≥ 1 — iloraz i pierwszy wyraz. Wartości dłuższe niż 40 cyfr są pokazywane w notacji wykładniczej.
- 4. Prześledź obliczenia. Wzory są rozpisane z twoimi liczbami, a po nich pojawia się kilka pierwszych wyrazów.
Wzory
Ciąg geometryczny mnoży się przez ten sam iloraz wspólny r, by przejść od każdego wyrazu do następnego: a₁, a₁r, a₁r², …. Zatem n-ty wyraz i suma pierwszych n wyrazów wynoszą:
aₙ = a₁ · r^(n − 1) Sₙ = a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1) Sₙ = n · a₁ (r = 1) S∞ = a₁ ÷ (1 − r) (only when |r| < 1)
Wzór na sumę wynika z odjęcia r·Sₙ od Sₙ: prawie wszystkie wyrazy się skracają, zostaje Sₙ(1 − r) = a₁(1 − rⁿ). Gdy |r| < 1, rⁿ maleje do 0 wraz ze wzrostem n, więc sumy częściowe ustalają się na poziomie a₁ ÷ (1 − r). Gdy |r| ≥ 1, nie ustalają się i szereg nieskończony nie ma skończonej sumy.
Przykłady krok po kroku
- Wyraz i suma. Dla 3, 6, 12, … mamy a₁ = 3 i r = 2. 10. wyraz to 3 × 2⁹ = 1536, a suma pierwszych 10 to 3(1 − 2¹⁰) ÷ (1 − 2) = 3069.
- Z dwóch wyrazów. Jeśli a₂ = 6 i a₅ = 162, to r³ = 162 ÷ 6 = 27, więc r = 3. Wtedy a₁ = 6 ÷ 3 = 2, a ciąg to 2, 6, 18, 54, 162, …. Gdy dwa wyrazy dzieli parzysta liczba kroków, na przykład r² = 4, są dwie rzeczywiste odpowiedzi (2 i −2) i kalkulator pokazuje obie.
- Suma nieskończona. Dla 8, −8/3, 8/9, … mamy a₁ = 8 i r = −1/3, więc S∞ = 8 ÷ (1 + 1/3) = 6. Ten sam wzór pokazuje, dlaczego 0,999… = 1: to 0,9 + 0,09 + 0,009 + … z a₁ = 0,9 i r = 0,1, więc S∞ = 0,9 ÷ 0,9 = 1.
- Szachownica. Jedno ziarno na pierwszym polu, podwajanie na każdym z 64 pól: a₁ = 1, r = 2, n = 64, więc S₆₄ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 ziaren.
| Iloraz r | Co robi ciąg | Suma nieskończona |
|---|---|---|
| r > 1 | Rośnie bez ograniczeń | Brak |
| r = 1 | Stały | Brak (chyba że a₁ = 0) |
| 0 < r < 1 | Maleje do 0 | a₁ ÷ (1 − r) |
| −1 < r < 0 | Zmienia znak i maleje | a₁ ÷ (1 − r) |
| r = −1 | Przeskakuje między a₁ i −a₁ | Brak |
| r < −1 | Zmienia znak i rośnie | Brak |
Najczęstsze pytania
- Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego?
- aₙ = a₁ · r^(n − 1), gdzie a₁ to pierwszy wyraz, a r to iloraz wspólny. Dla 5, 10, 20, … daje to aₙ = 5 · 2^(n − 1), więc 8. wyraz to 5 × 128 = 640.
- Jak znaleźć iloraz wspólny?
- Podziel dowolny wyraz przez poprzedni. W ciągu 4, 12, 36, 108 każde dzielenie daje 3. Jeśli znasz tylko dwa wyrazy, które nie są sąsiednie, weź pierwiastek k-tego stopnia z ich ilorazu, gdzie k to liczba kroków między nimi: dla a₂ = 6 i a₅ = 162, r = ∛(162 ÷ 6) = 3.
- Kiedy nieskończony szereg geometryczny ma sumę?
- Dokładnie wtedy, gdy |r| < 1 — iloraz leży między −1 a 1, bez tych granic. Wtedy S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Dla 1 + 1/2 + 1/4 + … to 1 ÷ (1/2) = 2. Jeśli |r| ≥ 1, wyrazy nie maleją i suma nie ma wartości skończonej.
- Jaka jest różnica między ciągiem arytmetycznym a geometrycznym?
- Ciąg arytmetyczny dodaje stałą (2, 5, 8, 11); geometryczny mnoży przez stałą (2, 6, 18, 54). W pierwszym stałe są różnice, w drugim — ilorazy. Number Sequence Solver sprawdzi za ciebie oba typy.
- Czy iloraz wspólny może być ujemny lub ułamkiem?
- Tak. Ujemny iloraz sprawia, że znaki się przeplatają (3, −6, 12, −24), a ułamek między −1 a 1 sprawia, że wyrazy maleją (81, 27, 9, 3, 1, 1/3). Iloraz 0 jest tu dozwolony, ale każdy wyraz po pierwszym wynosi wtedy 0.
- Co daje wzór na sumę, gdy r = 1?
- Wzór a₁(1 − rⁿ) ÷ (1 − r) dzieliłby przez zero, więc zamiast niego użyj Sₙ = n · a₁: każdy wyraz równa się a₁, a jest ich n. Kalkulator przełącza się na tę postać automatycznie.
- Gdzie w życiu pojawiają się ciągi geometryczne?
- Procent składany jest geometryczny: 1000 przy 5% rocznie jest po n latach warte 1000 · 1,05ⁿ. Wzrost populacji, amortyzacja, rozpad promieniotwórczy i wysokości odbić piłki podążają za tym samym wzorcem z ilorazem większym lub mniejszym od 1.