Kalkulator liczb zespolonych

Wyniki

Obliczenia krok po kroku

1. Aby dzielić, pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie dzielnika. Dzięki temu mianownik staje się liczbą rzeczywistą.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. Mianownik staje się c² + d², czyli liczbą rzeczywistą.

   1² + (−2)² = 5

3. Wymnóż licznik.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Podziel część rzeczywistą i urojoną przez mianownik.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Płaszczyzna zespolona

Jak korzystać z kalkulatora liczb zespolonych

1. 1. Wybierz, czego potrzebujesz. Działania dotyczą dwóch liczb, z₁ i z₂. Postać trygonometryczna dotyczy z₁. Potęgi i pierwiastki przyjmują z₁ oraz liczbę całkowitą n od 2 do 24.
2. 2. Wpisz liczby. Zapisz 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i albo nawet (1 + i)(2 − i). Używaj i (albo j, jeśli jesteś przyzwyczajony do zapisu inżynierskiego). Ułamki i liczby dziesiętne są odczytywane dokładnie.
3. 3. Przeczytaj wynik. Sumy, iloczyny, ilorazy i potęgi całkowite są dokładnymi ułamkami. Moduły, argumenty i pierwiastki podawane są w postaci dokładnej, tam gdzie to możliwe, a w pozostałych przypadkach jako przybliżenia z czterema miejscami po przecinku.
4. 4. Śledź obliczenia i diagram. Każdy krok jest zapisany, a liczby są narysowane jako strzałki na płaszczyźnie zespolonej.

Działania w postaci algebraicznej

Mnożenie to zwykłe rozwinięcie nawiasów z jednym dodatkowym faktem, i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Dzielenie korzysta ze sprzężenia, bo (c + di)(c − di) = c² + d² jest liczbą rzeczywistą. Dla (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) mianownik staje się 1² + (−2)² = 5, a licznik (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, więc iloraz to (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Moduł, argument i postać trygonometryczna

Moduł |z| = √(a² + b²) to odległość od początku układu. Argument θ to kąt od dodatniej półosi rzeczywistej. Kalkulator podaje wartość główną, z −π < θ ≤ π, i uwzględnia ćwiartkę: arctg(b/a) w pierwszej i czwartej, plus 180° w drugiej, minus 180° w trzeciej. Dla z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Postać trygonometryczna: 5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Postać wykładnicza:      5 × e^(i × 0,9273)

Na osi lub przekątnej argument to prosta wielokrotność π/4, a kalkulator zapisuje go dokładnie: −1 + i ma moduł √2 i argument 3π/4. Zero ma moduł 0, ale nie ma argumentu, więc nie ma postaci trygonometrycznej.

Potęgi i pierwiastki: wzór de Moivre'a

Wzór de Moivre'a mówi, że (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): podnieś moduł do potęgi i pomnóż kąt przez wykładnik. Na przykład (1 + i)⁸ ma moduł (√2)⁸ = 16 i kąt 8 × 45° = 360°, więc jest dokładnie równe 16. Kalkulator rozwija potęgę dokładnie i obok pokazuje obliczenie ze wzoru de Moivre'a jako sprawdzenie.

Każda liczba niezerowa ma dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia. Mają one wspólny moduł r^(1/n) i kąty (θ + 360°k)/n dla k = 0, 1, …, n − 1, więc leżą w wierzchołkach wielokąta foremnego o środku w początku układu. Pierwiastki sześcienne z −8, która ma moduł 8 i argument π, mają moduł 2 i kąty π/3, π oraz 5π/3: 1 + 1,7321i, −2 oraz 1 − 1,7321i. Pierwiastki kwadratowe z 3 + 4i to dokładnie 2 + i oraz −2 − i.

Potęgi liczby i

Aby znaleźć iⁿ, podziel n przez 4 i weź resztę: i⁵⁷ = i¹ = i, bo 57 = 4 × 14 + 1.

Częste błędy

• Zapominanie o i² = −1 przy mnożeniu: wyraz bd zmienia znak, więc jest (ac − bd), a nie (ac + bd).
• Dzielenie bez sprzężenia. Pomnożenie licznika i mianownika przez sprzężenie mianownika jest tym, co usuwa i z mianownika.
• Liczenie arctg(b/a) w każdej ćwiartce. Funkcja arctg zwraca tylko wartości od −90° do 90°, więc liczby w drugiej i trzeciej ćwiartce wymagają ±180°.
• Podawanie tylko jednego pierwiastka. z^(1/n) ma n wartości; pierwiastek główny to tylko k = 0.
• Mieszanie stopni i radianów wewnątrz cos i sin. 53,13° i 0,9273 rad to ten sam kąt.

Najczęstsze pytania

Jak dzielić liczby zespolone?

Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. Nowy mianownik to c² + d², czyli liczba rzeczywista, a część rzeczywistą i urojoną nowego licznika dzielisz przez nią. Dla (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) wynik to −1 + 2i.

Jaki jest moduł i argument liczby zespolonej?

Moduł to długość √(a² + b²), czyli odległość od początku układu na płaszczyźnie zespolonej. Argument to kąt od dodatniej półosi rzeczywistej do tej liczby, między −180° a 180° dla wartości głównej. Razem dają postać trygonometryczną r(cos θ + i sin θ).

Jaka jest postać wykładnicza liczby zespolonej?

Z wzoru Eulera e^(iθ) = cos θ + i sin θ, więc z = r(cos θ + i sin θ) można zapisać jako re^(iθ), z θ w radianach. Dla 3 + 4i to 5e^(0,9273i). Ułatwia to mnożenie: pomnóż moduły i dodaj kąty.

Czym jest wzór de Moivre'a?

Mówi, że (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, a więc zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Zamienia potęgi w zmianę modułu i kąta, a przy ułamkowym wykładniku daje pierwiastki n-tego stopnia.

Ile pierwiastków n-tego stopnia ma liczba zespolona?

Dokładnie n, jeśli liczba nie jest zerem. Mają ten sam moduł i kąty rozstawione co 360°/n, więc tworzą n-kąt foremny. Liczba rzeczywista, taka jak −8, ma trzy pierwiastki sześcienne: jeden rzeczywisty i dwa zespolone.

Czym jest sprzężenie liczby zespolonej?

Sprzężeniem a + bi jest a − bi. Pomnożenie liczby przez jej sprzężenie daje liczbę rzeczywistą a² + b², czyli kwadrat modułu. Sprzężeń używa się do dzielenia i do łączenia zespolonych pierwiastków wielomianów rzeczywistych.

Dlaczego argument 0 jest nieokreślony?

Zero to początek układu, który leży w każdym kierunku jednocześnie, więc żaden pojedynczy kąt go nie opisuje. Jego moduł to 0, a kalkulator informuje cię, gdy postać trygonometryczna lub pierwiastek nie są dostępne.