Калькулятор комплексных чисел

Результат

Решение

1. Чтобы разделить, умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое делителя. Тогда знаменатель станет действительным числом.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. Знаменатель становится c² + d², действительным числом.

   1² + (−2)² = 5

3. Раскройте скобки в числителе.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Разделите действительную и мнимую части на знаменатель.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Комплексная плоскость

Как пользоваться калькулятором комплексных чисел

1. 1. Выберите, что вам нужно. Арифметика работает с двумя числами, z₁ и z₂. Полярная форма работает с z₁. Степени и корни принимают z₁ и целое число n от 2 до 24.
2. 2. Введите числа. Запишите 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i или даже (1 + i)(2 − i). Используйте i или j, если вам привычна инженерная запись. Дроби и десятичные числа считаются точно.
3. 3. Прочитайте результат. Суммы, произведения, частные и целые степени — точные дроби. Модули, аргументы и корни показываются точно, где это возможно, а в остальных случаях — приближённо, с четырьмя знаками после запятой.
4. 4. Следите за решением и схемой. Каждый шаг записан, а числа изображены стрелками на комплексной плоскости.

Арифметика в алгебраической форме

Умножение — обычное раскрытие скобок с одним дополнительным правилом, i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Деление использует сопряжённое, потому что (c + di)(c − di) = c² + d² — действительное число. Для (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) знаменатель становится 1² + (−2)² = 5, а числитель (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, поэтому частное равно (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Модуль, аргумент и полярная форма

Модуль |z| = √(a² + b²) — расстояние от начала координат. Аргумент θ — угол от положительной действительной оси. Калькулятор даёт главное значение, при котором −π < θ ≤ π, и учитывает четверть: arctan(b/a) в первой и четвёртой, плюс 180° во второй, минус 180° в третьей. Для z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 рад = 53,1301°
Полярная форма:       5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Показательная форма: 5 × e^(i × 0,9273)

Для углов на осях или диагоналях аргумент — простое кратное π/4, и калькулятор записывает его точно: у −1 + i модуль √2 и аргумент 3π/4. У нуля модуль 0, но аргумента нет, поэтому у него нет полярной формы.

Степени и корни: формула Муавра

Формула Муавра утверждает, что (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): модуль возводится в степень, а угол умножается на показатель. Например, (1 + i)⁸ имеет модуль (√2)⁸ = 16 и угол 8 × 45° = 360°, поэтому он равен 16 точно. Калькулятор возводит число в степень точно и рядом показывает расчёт по формуле Муавра как проверку.

Каждое ненулевое число имеет ровно n различных корней n-й степени. Они имеют общий модуль r^(1/n) и углы (θ + 360°k)/n для k = 0, 1, …, n − 1, поэтому лежат в вершинах правильного многоугольника с центром в начале координат. Кубические корни из −8, модуль которого 8, а аргумент π, имеют модуль 2 и углы π/3, π и 5π/3: 1 + 1,7321i, −2 и 1 − 1,7321i. Квадратные корни из 3 + 4i точно равны 2 + i и −2 − i.

Степени i

Чтобы найти iⁿ, разделите n на 4 и возьмите остаток: i⁵⁷ = i¹ = i, потому что 57 = 4 × 14 + 1.

Частые ошибки

• Забыть, что i² = −1, при умножении: член bd меняет знак, поэтому (ac − bd), а не (ac + bd).
• Делить без сопряжённого. Умножение числителя и знаменателя на сопряжённое знаменателя именно и убирает i из знаменателя.
• Брать arctan(b/a) в каждой четверти. Арктангенс калькулятора возвращает только значения от −90° до 90°, поэтому числа во второй и третьей четвертях требуют ±180°.
• Указывать только один корень. z^(1/n) имеет n значений; главный корень — лишь при k = 0.
• Смешивать градусы и радианы внутри cos и sin. 53,13° и 0,9273 рад — один и тот же угол.

Часто задаваемые вопросы

Как делить комплексные числа?

Умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя. Новый знаменатель равен c² + d², действительному числу, и вы делите на него действительную и мнимую части нового числителя. Для (3 + 4i) ÷ (1 − 2i) ответ равен −1 + 2i.

Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

Модуль — это длина √(a² + b²), расстояние от начала координат на комплексной плоскости. Аргумент — угол от положительной действительной оси до числа, в главном значении от −180° до 180°. Вместе они дают полярную форму r(cos θ + i sin θ).

Что такое показательная форма комплексного числа?

По формуле Эйлера e^(iθ) = cos θ + i sin θ, поэтому z = r(cos θ + i sin θ) можно записать как re^(iθ), с θ в радианах. Для 3 + 4i это 5e^(0,9273i). Так удобно умножать: перемножьте модули и сложите углы.

Что говорит формула Муавра?

Она утверждает, что (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, и поэтому zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Она превращает степени в изменение модуля и угла, а при дробном показателе даёт корни n-й степени.

Сколько корней n-й степени имеет комплексное число?

Ровно n, если число не равно нулю. Они имеют одинаковый модуль, а углы разнесены на 360°/n, поэтому образуют правильный n-угольник. Действительное число, например −8, имеет три кубических корня: один действительный и два комплексных.

Что такое сопряжённое комплексное число?

Сопряжённое для a + bi — это a − bi. Умножение числа на сопряжённое даёт действительное число a² + b², квадрат модуля. Сопряжённые используют для деления и для пар комплексных корней действительных многочленов.

Почему аргумент нуля не определён?

Ноль — это начало координат, которое лежит во всех направлениях сразу, поэтому ни один угол его не описывает. Его модуль равен 0, а калькулятор сообщает, когда полярная форма или корень недоступны.