複素数計算ツール

結果

計算過程

1. 割るには、分子と分母に除数の共役を掛けます。そうすると分母が実数になります。

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. 分母は c² + d² になり、これは実数です。

   1² + (−2)² = 5

3. 分子を展開します。

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. 実部と虚部を、分母で割ります。

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

複素平面

複素数計算ツールの使い方

1. 1. 必要な計算を選びます。 四則演算は2つの数 z₁ と z₂ を扱います。極形式は z₁ を扱います。累乗とべき根は、z₁ と 2〜24 の整数 n を扱います。
2. 2. 数を入力します。 3 + 4i、−2i、1/2 − 3/4 i、さらには (1 + i)(2 − i) と書けます。虚数単位には i を使います（工学の記法に慣れている場合は j も可）。分数と小数は厳密に読み取られます。
3. 3. 結果を読みます。 和、積、商、整数乗は厳密な分数で示されます。絶対値、偏角、根は、可能な場合は厳密に、それ以外は小数4桁の近似値で示されます。
4. 4. 途中の計算と図を追います。 各段階が書き出され、数は複素平面上の矢印として描かれます。

直交形式での四則演算

乗算は通常の展開に、もう1つの事実 i² = −1 を加えたものです：(3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i。除算では共役を使います。(c + di)(c − di) = c² + d² は実数だからです。(3 + 4i) ÷ (1 − 2i) では、分母は 1² + (−2)² = 5 になり、分子は (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i になるので、商は (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i です。

絶対値、偏角、極形式

絶対値 |z| = √(a² + b²) は原点からの距離です。偏角 θ は正の実軸からの角度です。このツールは主値、−π < θ ≤ π を与え、象限に応じて調整します。第1象限と第4象限では arctan(b/a)、第2象限では +180°、第3象限では −180° です。z = 3 + 4i の場合：

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0.9273 rad = 53.1301°
極形式:     5(cos 53.1301° + i sin 53.1301°)
指数形式:   5 × e^(i × 0.9273)

軸上や対角線上では、偏角は π/4 の単純な倍数になり、このツールはそれを厳密に示します。たとえば −1 + i の絶対値は √2、偏角は 3π/4 です。0 は絶対値が 0 ですが偏角がないので、極形式を持ちません。

累乗とべき根：ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理は、(r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) と述べます。つまり、絶対値をべき乗し、偏角を n 倍します。たとえば (1 + i)⁸ の絶対値は (√2)⁸ = 16、偏角は 8 × 45° = 360° なので、厳密に 16 になります。このツールは累乗を厳密に展開し、その隣にド・モアブルの計算を検算として示します。

0 以外のどの数も、ちょうど n 個の相異なる n 乗根を持ちます。それらは絶対値 r^(1/n) を共有し、偏角は (θ + 360°k)/n（k = 0, 1, …, n − 1）で、原点を中心とする正多角形の頂点に並びます。絶対値 8、偏角 π の −8 の立方根は、絶対値 2、偏角 π/3、π、5π/3 を持ちます：1 + 1.7321i、−2、1 − 1.7321i。3 + 4i の平方根は、厳密に 2 + i と −2 − i です。

i のべき乗

iⁿ を求めるには、n を 4 で割り、余りを使います。i⁵⁷ = i¹ = i です。57 = 4 × 14 + 1 だからです。

よくある間違い

• 掛け算で i² = −1 を忘れること。 bd の項は符号が変わるので、(ac + bd) ではなく (ac − bd) です。
• 共役なしで割ること。 分母の共役を分子と分母に掛けることで、分母から i が取り除かれます。
• どの象限でも arctan(b/a) を使うこと。 計算機の arctan は −90° から 90° しか返さないので、第2象限と第3象限の数には ±180° が必要です。
• 根を1つだけ報告すること。 z^(1/n) は n 個の値を持ちます。主値は k = 0 のものだけです。
• cos と sin の中で度とラジアンを混ぜること。 53.13° と 0.9273 rad は同じ角度です。

よくある質問

複素数はどのように割りますか？

分子と分母に、分母の共役を掛けます。新しい分母は c² + d² という実数になり、新しい分子の実部と虚部をそれで割ります。(3 + 4i) ÷ (1 − 2i) の答えは −1 + 2i です。

複素数の絶対値と偏角とは何ですか？

絶対値は長さ √(a² + b²) で、複素平面上の原点からの距離です。偏角は正の実軸から数までの角度で、主値では −180° から 180° の間です。両方を合わせると、極形式 r(cos θ + i sin θ) が得られます。

複素数の指数形式とは何ですか？

オイラーの公式により e^(iθ) = cos θ + i sin θ なので、z = r(cos θ + i sin θ) は re^(iθ) と書け、θ はラジアンで表します。3 + 4i なら 5e^(0.9273i) です。掛け算が簡単になります。絶対値を掛け、偏角を足すだけです。

ド・モアブルの定理とは何ですか？

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ、したがって zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) と述べます。累乗を絶対値と偏角の変換に置き換え、分数の指数を使えば n 乗根が得られます。

複素数の n 乗根はいくつありますか？

0 でなければ、ちょうど n 個です。それらは同じ絶対値を持ち、偏角は 360°/n ずつ離れているので、正 n 角形を作ります。−8 のような実数は、3つの立方根を持ちます。1つは実数、2つは複素数です。

複素数の共役とは何ですか？

a + bi の共役は a − bi です。数にその共役を掛けると、実数 a² + b²、つまり絶対値の2乗が得られます。共役は、除算や、実係数多項式の複素根のペアリングに使われます。

0 の偏角が定義されないのはなぜですか？

0 は原点で、あらゆる方向に同時に位置するため、1つの角度では表せません。その絶対値は 0 で、このツールは極形式やべき根が利用できない場合にそう伝えます。