Kalkulator Bilangan Kompleks

Hasil

Langkah penyelesaian

1. Untuk membagi, kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat pembagi. Dengan begitu penyebut menjadi bilangan real.

   (3 + 4i)(1 + 2i) / (1 − 2i)(1 + 2i)

2. Penyebut menjadi c² + d², yang bersifat real.

   1² + (−2)² = 5

3. Jabarkan pembilangnya.

   (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i

4. Bagi bagian real dan bagian imajiner dengan penyebut.

   (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i

Bidang kompleks

Cara Menggunakan Kalkulator Bilangan Kompleks

1. 1. Pilih apa yang Anda butuhkan. Aritmetika bekerja pada dua bilangan, z₁ dan z₂. Bentuk polar bekerja pada z₁. Pangkat dan akar memakai z₁ dan bilangan bulat n dari 2 sampai 24.
2. 2. Ketik bilangannya. Tulis 3 + 4i, −2i, 1/2 − 3/4 i, atau bahkan (1 + i)(2 − i). Gunakan i, atau j jika Anda terbiasa dengan notasi teknik. Pecahan dan desimal dibaca secara tepat.
3. 3. Baca hasilnya. Jumlah, hasil kali, hasil bagi, dan pangkat bilangan bulat adalah pecahan yang tepat. Modulus, argumen, dan akar ditampilkan secara tepat jika memungkinkan, dan sebagai pendekatan empat desimal jika tidak.
4. 4. Ikuti langkah dan diagramnya. Setiap langkah dituliskan, dan bilangan-bilangannya digambar sebagai panah pada bidang kompleks.

Aritmetika dalam Bentuk Persegi Panjang

Perkalian adalah ekspansi biasa dengan satu fakta tambahan, i² = −1: (3 + 4i)(1 − 2i) = 3 − 6i + 4i − 8i² = 3 − 2i + 8 = 11 − 2i. Pembagian memakai konjugat, karena (c + di)(c − di) = c² + d² adalah bilangan real. Untuk (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), penyebutnya menjadi 1² + (−2)² = 5 dan pembilangnya menjadi (3 + 4i)(1 + 2i) = −5 + 10i, sehingga hasil baginya adalah (−5 + 10i)/5 = −1 + 2i.

Modulus, Argumen, dan Bentuk Polar

Modulus |z| = √(a² + b²) adalah jarak dari titik asal. Argumen θ adalah sudut dari sumbu real positif. Kalkulator ini memberikan nilai utama, dengan −π < θ ≤ π, dan menyesuaikan kuadran: arctan(b/a) di kuadran pertama dan keempat, ditambah 180° di kuadran kedua, dikurangi 180° di kuadran ketiga. Untuk z = 3 + 4i:

|z| = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) = 0,9273 rad = 53,1301°
Bentuk polar:        5(cos 53,1301° + i sin 53,1301°)
Bentuk eksponensial: 5 × e^(i × 0,9273)

Pada sumbu atau diagonal, argumennya adalah kelipatan sederhana dari π/4, dan kalkulator menuliskannya secara tepat: −1 + i memiliki modulus √2 dan argumen 3π/4. Nol memiliki modulus 0 tetapi tidak memiliki argumen, sehingga tidak memiliki bentuk polar.

Pangkat dan Akar: Teorema De Moivre

Teorema De Moivre menyatakan bahwa (r(cos θ + i sin θ))ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ): pangkatkan modulus dan kalikan sudutnya. Misalnya (1 + i)⁸ memiliki modulus (√2)⁸ = 16 dan sudut 8 × 45° = 360°, sehingga hasilnya tepat 16. Kalkulator mengalikan pangkatnya secara tepat dan menampilkan perhitungan De Moivre di sebelahnya sebagai pemeriksaan.

Setiap bilangan tidak-nol memiliki tepat n akar ke-n yang berbeda. Mereka memiliki modulus r^(1/n) yang sama dan sudut (θ + 360°k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1, sehingga terletak di sudut-sudut poligon beraturan yang berpusat di titik asal. Akar pangkat tiga dari −8, yang memiliki modulus 8 dan argumen π, memiliki modulus 2 dan sudut π/3, π, dan 5π/3: 1 + 1,7321i, −2, dan 1 − 1,7321i. Akar kuadrat dari 3 + 4i tepat sama dengan 2 + i dan −2 − i.

Pangkat dari i

Untuk mencari iⁿ, bagi n dengan 4 dan gunakan sisanya: i⁵⁷ = i¹ = i karena 57 = 4 × 14 + 1.

Kesalahan Umum

• Lupa i² = −1 ketika mengalikan: suku bd berubah tanda, sehingga (ac − bd), bukan (ac + bd).
• Membagi tanpa konjugat. Mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut adalah cara menghilangkan i dari penyebut.
• Mengambil arctan(b/a) di setiap kuadran. Arctan pada kalkulator hanya mengembalikan −90° sampai 90°, sehingga bilangan di kuadran kedua dan ketiga membutuhkan ±180°.
• Hanya melaporkan satu akar. z^(1/n) memiliki n nilai; akar utama hanya k = 0.
• Mencampur derajat dan radian di dalam cos dan sin. 53,13° dan 0,9273 rad adalah sudut yang sama.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Bagaimana cara membagi bilangan kompleks?

Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut. Penyebut baru adalah c² + d², bilangan real, dan Anda membagi bagian real dan imajiner dari pembilang baru dengannya. Untuk (3 + 4i) ÷ (1 − 2i), jawabannya adalah −1 + 2i.

Apa itu modulus dan argumen bilangan kompleks?

Modulus adalah panjang √(a² + b²), yaitu jarak dari titik asal pada bidang kompleks. Argumen adalah sudut dari sumbu real positif ke bilangan itu, antara −180° dan 180° untuk nilai utama. Bersama-sama keduanya memberikan bentuk polar r(cos θ + i sin θ).

Apa itu bentuk eksponensial bilangan kompleks?

Menurut rumus Euler, e^(iθ) = cos θ + i sin θ, sehingga z = r(cos θ + i sin θ) dapat ditulis re^(iθ), dengan θ dalam radian. Untuk 3 + 4i itu adalah 5e^(0,9273i). Ini memudahkan perkalian: kalikan modulusnya dan jumlahkan sudutnya.

Apa itu teorema De Moivre?

Teorema ini menyatakan bahwa (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, sehingga zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Ia mengubah pangkat menjadi perubahan modulus dan sudut, dan dengan pangkat pecahan ia memberikan akar ke-n.

Berapa banyak akar ke-n yang dimiliki bilangan kompleks?

Tepat n, jika bilangannya tidak nol. Mereka memiliki modulus yang sama dan sudut yang berjarak 360°/n, sehingga membentuk poligon beraturan dengan n sisi. Bilangan real seperti −8 memiliki tiga akar pangkat tiga: satu real dan dua kompleks.

Apa itu konjugat bilangan kompleks?

Konjugat dari a + bi adalah a − bi. Mengalikan suatu bilangan dengan konjugatnya menghasilkan bilangan real a² + b², yaitu kuadrat modulusnya. Konjugat dipakai untuk pembagian dan untuk memasangkan akar kompleks dari polinomial real.

Mengapa argumen 0 tidak terdefinisi?

Nol adalah titik asal, yang terletak di setiap arah sekaligus, sehingga tidak ada satu sudut tunggal yang menggambarkannya. Modulusnya 0, dan kalkulator memberi tahu Anda ketika bentuk polar atau akar tidak tersedia.