Kalkulator Nilai Eigen
Masukkan matriks persegi hingga 6 × 6 dan dapatkan nilai dan vektor eigennya, polinomial karakteristik, pemeriksaan jejak dan determinan, serta diagonalisasi A = PDP⁻¹ bila ada. Nilai eigen keluar secara eksak — sebagai pecahan, akar, atau bilangan kompleks — selama polinomialnya memungkinkan, dan secara numerik jika tidak. Gratis, tanpa pendaftaran, dan semuanya berjalan di browser Anda.
Bilangan bulat, desimal, atau pecahan seperti 3/4.
Hasil
Nilai eigen (diulang sesuai multiplisitas aljabar)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
Jejak
10
Determinan
Eksak
Metode
Tidak
Simetris?
Ya
Dapat didiagonalisasi?
Pemeriksaan: nilai eigen dijumlahkan menjadi jejak, 7, dan dikalikan menjadi determinan, 10.
Polinomial karakteristik
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Teorema akar rasional: akar rasional adalah pembagi suku konstanta dibagi pembagi koefisien utama. Akar yang ditemukan: 2, 5.
Nilai eigen dan vektor eigen
Setiap vektor eigen memenuhi (A − λI)v = 0. Setiap kelipatan tak nol darinya juga merupakan vektor eigen.
λ = 2
multiplisitas aljabar 1, multiplisitas geometris 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
multiplisitas aljabar 1, multiplisitas geometris 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Diagonalisasi
Vektor eigen membentuk kolom-kolom P, dan A = P D P⁻¹ dengan D adalah matriks diagonal dari nilai eigen.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Cara Menggunakan Kalkulator Nilai Eigen
- 1. Pilih ukurannya. Pilih n dari 2 sampai 6 dan isi matriks n × n. Pecahan seperti 3/4 dan desimal dibaca secara eksak.
- 2. Baca nilai eigennya. Nilai ditampilkan dengan pengulangan sesuai multiplisitas aljabar, di samping jejak dan determinan sebagai pemeriksaan cepat: nilai eigen dijumlahkan menghasilkan jejak dan dikalikan menghasilkan determinan.
- 3. Ikuti polinomial karakteristik. Kalkulator menulis p(λ) = det(λI − A), memfaktorkan akar-akar rasionalnya, dan menyelesaikan sisanya dengan rumus kuadrat.
- 4. Periksa vektor eigennya. Untuk setiap nilai eigen Anda melihat A − λI dan basis ruang eigennya, ditambah P dan D bila A dapat didiagonalisasi atas bilangan rasional.
Apa Itu Nilai dan Vektor Eigen
Vektor eigen dari matriks persegi A adalah vektor tak nol v yang hanya diregangkan oleh A, tidak pernah diputar: Av = λv. Skalar λ adalah nilai eigen. Jika disusun ulang, (A − λI)v = 0 memiliki solusi tak nol hanya ketika A − λI singular, yaitu tepat ketika det(A − λI) = 0. Persamaan itu adalah persamaan karakteristik, dan polinomialnya adalah polinomial karakteristik. Kalkulator ini memakai bentuk monik det(λI − A), yang berbeda dari det(A − λI) hanya oleh faktor (−1)ⁿ dan memiliki akar yang sama.
| Istilah | Arti |
|---|---|
| Multiplisitas aljabar | Berapa kali λ menjadi akar polinomial karakteristik |
| Multiplisitas geometris | Dimensi ruang eigen: berapa banyak vektor eigen bebas yang dimiliki λ |
| Dapat didiagonalisasi | A memiliki n vektor eigen yang bebas, sehingga A = PDP⁻¹; ini memerlukan multiplisitas geometris = aljabar untuk setiap nilai eigen |
| Defektif | Ada nilai eigen dengan multiplisitas geometris di bawah multiplisitas aljabarnya |
Multiplisitas geometris tidak pernah lebih besar daripada multiplisitas aljabar. Matriks real simetris selalu dapat didiagonalisasi, dengan nilai eigen real.
Jawaban Eksak dan Jawaban Numerik
Polinomial karakteristik dihitung secara eksak, sehingga tidak ada pembulatan di dalamnya. Akar rasional ditemukan dengan teorema akar rasional dan dibagi keluar. Jika masih tersisa kuadrat, rumus kuadrat memberikan kedua nilai eigen yang tersisa dalam bentuk tertutup, termasuk yang kompleks, dan vektor eigennya diselesaikan secara eksak dalam sistem bilangan yang sama. Itu mencakup setiap matriks 2 × 2, setiap matriks 3 × 3 yang polinomial karakteristiknya memiliki akar rasional, dan matriks yang lebih besar yang terurai menjadi akar rasional ditambah satu kuadrat.
Ketika polinomial tidak terfaktor dengan cara itu — kubik yang tak tereduksi, atau kuartik dengan akar irasional — kalkulator beralih ke algoritma QR dalam presisi ganda. Algoritma ini mereduksi matriks ke bentuk Hessenberg, menerapkan langkah QR bergeser hingga subdiagonal menghilang, dan mencari vektor eigen dengan iterasi invers. Harapkan sekitar sepuluh digit benar untuk matriks yang terkondisi baik. Nilai eigen yang bagian imajinernya di bawah 10⁻⁹ dari besarnya ditampilkan sebagai real, dan halaman menyebutkan metode yang dipakai.
Contoh Kasus
A = [4 1; 2 3]. Jejaknya 7 dan determinannya 10, sehingga p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Untuk λ = 2 vektor eigennya (1, −2), dan untuk λ = 5 adalah (1, 1). Maka P memiliki kolom (1, −2) dan (1, 1), D = diag(2, 5), dan A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (matriks Fibonacci). Di sini p(λ) = λ² − λ − 1 memiliki diskriminan 5 dan tidak memiliki akar rasional, sehingga nilai eigennya adalah (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 — rasio emas — dan (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, dengan vektor eigen ((1 + √5)/2, 1) untuk yang pertama.
A = [0 −1; 1 0], rotasi 90°, memiliki p(λ) = λ² + 1, sehingga nilai eigennya adalah i dan −i: tidak ada vektor real yang mempertahankan arahnya. Matriks permutasi siklik dengan baris (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) memiliki p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), sehingga nilai eigennya adalah 1 dan akar pangkat tiga kompleks dari satu, (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] memiliki λ = 2 dengan multiplisitas aljabar 2 tetapi hanya satu arah vektor eigen, sehingga ia defektif dan tidak dapat didiagonalisasi.
Matriks tridiagonal 4 × 4 dengan 2 di diagonal dan −1 di sampingnya memiliki spektrum irasional, sehingga dihitung secara numerik: nilai eigennya 0,381966, 1,381966, 2,618034 dan 3,618034, yang cocok dengan 2 − 2cos(kπ/5) untuk k = 1 sampai 4.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Bagaimana cara mencari nilai eigen matriks 2×2?
- Hitung jejak dan determinannya, tuliskan λ² − (jejak)λ + (determinan) = 0, lalu selesaikan. Untuk [4 1; 2 3] itu adalah λ² − 7λ + 10 = 0, sehingga λ = 2 dan λ = 5. Jika diskriminannya negatif, nilai eigennya adalah pasangan kompleks konjugat.
- Bagaimana cara mencari vektor eigen setelah mendapatkan nilai eigennya?
- Untuk setiap nilai eigen λ, selesaikan (A − λI)v = 0, biasanya dengan reduksi baris. Solusinya membentuk ruang eigen; setiap vektor tak nol di dalamnya adalah vektor eigen, sehingga vektor eigen hanya ditentukan hingga kelipatan skalar.
- Dapatkah matriks real memiliki nilai eigen kompleks?
- Bisa. Nilai eigen kompleks dari matriks real muncul berpasangan konjugat. Rotasi bidang dengan sudut selain 0° atau 180° tidak memiliki vektor eigen real, sehingga nilai eigennya kompleks.
- Apa artinya jika sebuah nilai eigen bernilai 0?
- Matriksnya singular: det A = 0 karena determinan adalah hasil kali nilai eigen, dan vektor eigen untuk 0 adalah solusi tak nol dari Ax = 0. Multiplisitas 0 menunjukkan seberapa banyak ruang yang dipadatkan matriks.
- Kapan sebuah matriks dapat didiagonalisasi?
- Ketika ia memiliki n vektor eigen yang bebas linier. Nilai eigen yang berbeda menjaminnya, begitu pula matriks real simetris. Nilai eigen yang berulang dapat menggagalkannya jika ruang eigennya terlalu kecil, seperti pada [2 1; 0 2].
- Mengapa beberapa nilai eigen ditampilkan sebagai desimal?
- Untuk matriks 5 × 5 dan 6 × 6, serta untuk kubik tanpa akar rasional, tidak ada rumus akar yang diterapkan alat ini, sehingga digunakan algoritma QR. Nilai-nilai itu akurat hingga sekitar sepuluh digit; polinomial karakteristik yang ditampilkan di sebelahnya tetap eksak.