고유값 계산기
최대 6 × 6 정방행렬을 입력하면 고유값과 고유벡터, 특성 다항식, 대각합과 행렬식 검산, 그리고 가능한 경우 대각화 A = PDP⁻¹를 얻을 수 있습니다. 다항식이 허용하는 한 고유값은 분수, 근호, 복소수로 정확하게 나오고, 그렇지 않으면 수치로 계산합니다. 무료이며 회원가입이 필요 없고, 모든 계산은 브라우저에서 이루어집니다.
정수, 소수 또는 3/4 같은 분수를 입력하세요.
결과
고유값 (대수적 중복도에 따라 반복)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
대각합
10
행렬식
정확
방법
아니요
대칭인가?
예
대각화 가능한가?
확인: 고유값의 합은 대각합 7와 같고, 고유값의 곱은 행렬식 10과 같습니다.
특성 다항식
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- 유리근 정리: 유리근은 상수항의 약수를 최고차항 계수의 약수로 나눈 값입니다. 찾은 근: 2, 5.
고유값과 고유벡터
각 고유벡터는 (A − λI)v = 0의 해입니다. 그 0이 아닌 상수배도 역시 고유벡터입니다.
λ = 2
대수적 중복도 1, 기하적 중복도 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
대수적 중복도 1, 기하적 중복도 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
대각화
고유벡터들이 P의 열을 이루고, D는 고유값을 대각선에 놓은 대각행렬이며, A = PDP⁻¹입니다.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
고유값 계산기 사용 방법
- 1. 크기를 고르세요. n을 2에서 6 사이로 정하고 n × n 행렬을 채웁니다. 3/4 같은 분수와 소수는 정확하게 읽힙니다.
- 2. 고유값을 읽으세요. 대수적 중복도에 따라 중복된 고유값이 나열되며, 빠른 검산으로 대각합과 행렬식이 함께 표시됩니다. 고유값을 모두 더하면 대각합이 되고, 곱하면 행렬식이 됩니다.
- 3. 특성 다항식을 따라가세요. 계산기는 p(λ) = det(λI − A)를 쓰고, 유리근을 찾아 나눈 뒤, 남은 부분을 이차방정식 공식으로 풉니다.
- 4. 고유벡터를 확인하세요. 각 고유값에 대해 A − λI와 그 고유공간의 기저를 보여 줍니다. 유리수 범위에서 대각화가 가능하면 P와 D도 함께 보여 줍니다.
고유값과 고유벡터란 무엇인가
정방행렬 A의 고유벡터는 A가 방향을 바꾸지 않고 늘이기만 하는 0이 아닌 벡터 v입니다: Av = λv. 스칼라 λ가 고유값입니다. 식을 정리하면 (A − λI)v = 0은 A − λI가 특이행렬일 때, 즉 det(A − λI) = 0일 때만 0이 아닌 해를 가집니다. 이 방정식이 특성 방정식이며, 그 다항식이 특성 다항식입니다. 이 계산기는 det(λI − A) 형태를 쓰는데, 이는 det(A − λI)와 (−1)ⁿ 인자만큼만 다르고 근은 같습니다.
| 용어 | 의미 |
|---|---|
| 대수적 중복도 | λ가 특성 다항식의 근으로 몇 번 나타나는지 |
| 기하적 중복도 | 고유공간의 차원, 즉 λ에 대해 독립인 고유벡터의 개수 |
| 대각화 가능 | A가 독립인 고유벡터 n개를 가져 A = PDP⁻¹로 쓸 수 있음. 모든 고유값에 대해 기하적 중복도가 대수적 중복도와 같아야 함 |
| 결함 있음 | 어떤 고유값의 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작음 |
기하적 중복도는 대수적 중복도를 넘을 수 없습니다. 실수 대칭행렬은 항상 대각화 가능하며 고유값이 실수입니다.
정확한 답과 수치 답
특성 다항식은 정확하게 계산되므로 여기에는 반올림이 없습니다. 유리근은 유리근 정리로 찾아서 나눕니다. 이차식이 남으면 이차방정식 공식이 나머지 두 고유값을 닫힌 형태로 주며, 복소수 고유값도 포함합니다. 고유벡터도 같은 수 체계에서 정확하게 풉니다. 이로써 모든 2×2 행렬, 특성 다항식에 유리근이 있는 모든 3×3 행렬, 그리고 유리근 몇 개와 이차식 하나로 나뉘는 더 큰 행렬을 다룹니다.
다항식이 이런 방식으로 인수분해되지 않으면, 즉 기약 삼차식이나 무리근을 가진 사차식이면 계산기는 배정밀도의 QR 알고리즘으로 전환합니다. 행렬을 Hessenberg 형태로 바꾸고, 부대각선이 0이 될 때까지 이동 QR 단계를 적용하며, 고유벡터는 역반복법으로 구합니다. 잘 조건화된 행렬이라면 약 10자리의 정확한 숫자를 기대할 수 있습니다. 허수부가 크기의 10⁻⁹ 미만인 고유값은 실수로 표시되며, 페이지에는 어떤 방법을 썼는지 나옵니다.
실제 예시
A = [4 1; 2 3]. 대각합은 7이고 행렬식은 10이므로 p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5)입니다. λ = 2일 때 고유벡터는 (1, −2)이고, λ = 5일 때는 (1, 1)입니다. 따라서 P의 열은 (1, −2)와 (1, 1), D = diag(2, 5)이며, A = PDP⁻¹입니다.
A = [1 1; 1 0] (피보나치 행렬). 여기서 p(λ) = λ² − λ − 1이며, 판별식은 5이고 유리근이 없습니다. 따라서 고유값은 (1 + √5)/2 ≈ 1.618034(황금비)와 (1 − √5)/2 ≈ −0.618034이며, 첫 번째 고유벡터는 ((1 + √5)/2, 1)입니다.
A = [0 −1; 1 0], 즉 90° 회전 행렬은 p(λ) = λ² + 1이므로 고유값이 i와 −i입니다. 방향이 유지되는 실수 벡터는 없습니다. 순환 치환행렬(행 (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0))은 p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1)이므로 고유값은 1과 복소 세제곱근 (−1 ± i√3)/2입니다. A = [2 1; 0 2]는 λ = 2의 대수적 중복도가 2이지만 고유벡터 방향은 하나뿐이므로 결함 행렬이며 대각화할 수 없습니다.
대각선에 2, 그 옆에 −1을 둔 4 × 4 삼중대각행렬은 무리수 스펙트럼을 가지므로 수치로 계산됩니다. 고유값은 0.381966, 1.381966, 2.618034, 3.618034이며, 이는 k = 1부터 4까지에 대해 2 − 2cos(kπ/5)와 일치합니다.
자주 묻는 질문
- 2×2 행렬의 고유값은 어떻게 구하나요?
- 대각합과 행렬식을 구한 뒤 λ² − (대각합)λ + (행렬식) = 0을 풉니다. [4 1; 2 3]이라면 λ² − 7λ + 10 = 0이므로 λ = 2와 λ = 5입니다. 판별식이 음수이면 고유값은 켤레 복소수입니다.
- 고유값을 구한 뒤 고유벡터는 어떻게 구하나요?
- 각 고유값 λ에 대해 (A − λI)v = 0을 풉니다. 보통 행 축소를 사용합니다. 해들이 고유공간을 이루며, 그 안의 0이 아닌 벡터는 모두 고유벡터이므로 고유벡터는 상수배까지만 정해집니다.
- 실수 행렬이 복소 고유값을 가질 수 있나요?
- 네. 실수 행렬의 복소 고유값은 켤레쌍으로 나타납니다. 0°나 180°가 아닌 각도의 평면 회전은 실수 고유벡터가 없으므로 고유값이 복소수입니다.
- 고유값이 0이면 무엇을 뜻하나요?
- 행렬이 특이행렬이라는 뜻입니다. 행렬식은 고유값의 곱이므로 det A = 0이며, 고유값 0에 대한 고유벡터는 Ax = 0의 0이 아닌 해입니다. 0의 중복도는 행렬이 공간을 얼마나 붕괴시키는지 알려 줍니다.
- 언제 행렬을 대각화할 수 있나요?
- 독립인 고유벡터를 n개 가질 때입니다. 서로 다른 고유값이면 보장되고, 실수 대칭행렬도 보장됩니다. 반복된 고유값은 고유공간이 너무 작을 때 대각화를 깨뜨릴 수 있으며, 예로 [2 1; 0 2]가 있습니다.
- 일부 고유값이 소수로 표시되는 이유는 무엇인가요?
- 5 × 5와 6 × 6 행렬, 그리고 유리근이 없는 삼차식에는 이 도구가 적용할 근의 공식이 없으므로 QR 알고리즘을 씁니다. 이 값들은 약 10자리까지 정확하며, 옆에 표시되는 특성 다항식은 여전히 정확합니다.