Công Cụ Tính Giá Trị Riêng
Nhập một ma trận vuông tới 6 × 6 và nhận giá trị riêng và vectơ riêng, đa thức đặc trưng, các kiểm tra vết và định thức, cùng phép chéo hóa A = PDP⁻¹ khi nó tồn tại. Giá trị riêng được tính chính xác — dưới dạng phân số, căn thức hoặc số phức — bất cứ khi nào đa thức cho phép, và bằng số trong các trường hợp còn lại. Miễn phí, không cần đăng ký, và mọi thứ chạy trong trình duyệt của bạn.
Số nguyên, số thập phân hoặc phân số như 3/4.
Kết quả
Giá trị riêng (lặp lại theo bội đại số)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
Vết
10
Định thức
Chính xác
Phương pháp
Không
Đối xứng?
Có
Chéo hóa được?
Kiểm tra: các giá trị riêng cộng lại bằng vết, 7, và nhân lại bằng định thức, 10.
Đa thức đặc trưng
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Định lý nghiệm hữu tỷ: nghiệm hữu tỷ là ước của hệ số tự do chia cho ước của hệ số bậc cao nhất. Các nghiệm tìm được: 2, 5.
Giá trị riêng và vectơ riêng
Mỗi vectơ riêng là nghiệm của (A − λI)v = 0. Bội vô hướng khác không của nó cũng là vectơ riêng.
λ = 2
bội đại số 1, bội hình học 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
bội đại số 1, bội hình học 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Chéo hóa
Các vectơ riêng là các cột của P, và A = P D P⁻¹ với D là ma trận chéo của các giá trị riêng.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Giá Trị Riêng
- 1. Chọn kích thước. Chọn n từ 2 đến 6 và điền ma trận n × n. Phân số như 3/4 và số thập phân được đọc chính xác.
- 2. Đọc các giá trị riêng. Chúng được liệt kê lặp lại theo bội đại số, cạnh vết và định thức để kiểm tra nhanh: các giá trị riêng cộng lại bằng vết và nhân lại bằng định thức.
- 3. Theo dõi đa thức đặc trưng. Công cụ viết p(λ) = det(λI − A), tách các nghiệm hữu tỷ và giải phần còn lại bằng công thức nghiệm bậc hai.
- 4. Xem các vectơ riêng. Với mỗi giá trị riêng, bạn thấy A − λI và một cơ sở của không gian riêng, cùng P và D khi A chéo hóa được trên các số hữu tỷ.
Giá Trị Riêng và Vectơ Riêng Là Gì
Vectơ riêng của ma trận vuông A là một vectơ khác không v mà A chỉ kéo giãn, không làm xoay: Av = λv. Đại lượng vô hướng λ là giá trị riêng. Viết lại, (A − λI)v = 0 có nghiệm khác không chỉ khi A − λI suy biến, tức khi det(A − λI) = 0. Phương trình đó là phương trình đặc trưng, còn đa thức là đa thức đặc trưng. Công cụ này dùng dạng monic det(λI − A), chỉ khác det(A − λI) ở thừa số (−1)ⁿ và có cùng các nghiệm.
| Thuật ngữ | Ý nghĩa |
|---|---|
| Bội đại số | Số lần λ là nghiệm của đa thức đặc trưng |
| Bội hình học | Số chiều của không gian riêng: có bao nhiêu vectơ riêng độc lập ứng với λ |
| Chéo hóa được | A có n vectơ riêng độc lập, nên A = PDP⁻¹; điều này đòi hỏi bội hình học bằng bội đại số với mọi giá trị riêng |
| Khuyết | Có ít nhất một giá trị riêng mà bội hình học nhỏ hơn bội đại số |
Bội hình học không bao giờ lớn hơn bội đại số. Ma trận thực đối xứng luôn chéo hóa được, với giá trị riêng thực.
Đáp Số Chính Xác và Đáp Số Bằng Số
Đa thức đặc trưng được tính chính xác nên không có sai số làm tròn trong đó. Nghiệm hữu tỷ được tìm bằng định lý nghiệm hữu tỷ và được chia ra. Nếu còn lại một tam thức bậc hai, công thức nghiệm bậc hai cho hai giá trị riêng còn lại dưới dạng đóng, kể cả nghiệm phức, và các vectơ riêng được giải chính xác trong cùng hệ số. Điều đó bao phủ mọi ma trận 2 × 2, mọi ma trận 3 × 3 có đa thức đặc trưng với một nghiệm hữu tỷ, và các ma trận lớn hơn mà đa thức của chúng tách thành các nghiệm hữu tỷ cộng một tam thức bậc hai.
Khi đa thức không tách theo cách đó — một đa thức bậc ba bất khả quy, hay một đa thức bậc bốn có nghiệm vô tỷ — công cụ chuyển sang thuật toán QR với độ chính xác kép. Nó đưa ma trận về dạng Hessenberg, áp dụng các bước QR dịch chuyển cho đến khi đường chéo dưới triệt tiêu, và tìm vectơ riêng bằng lặp nghịch đảo. Với một ma trận điều kiện tốt, kỳ vọng khoảng mười chữ số đúng. Giá trị riêng có phần ảo nhỏ hơn 10⁻⁹ độ lớn của nó được hiển thị là số thực, và trang cho biết đã dùng phương pháp nào.
Ví Dụ Minh Họa
A = [4 1; 2 3]. Vết là 7 và định thức là 10, nên p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Với λ = 2 vectơ riêng là (1, −2), và với λ = 5 là (1, 1). Khi đó P có các cột (1, −2) và (1, 1), D = diag(2, 5), và A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (ma trận Fibonacci). Ở đây p(λ) = λ² − λ − 1 có biệt thức 5 và không có nghiệm hữu tỷ, nên các giá trị riêng là (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 — tỷ lệ vàng — và (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, với vectơ riêng ((1 + √5)/2, 1) cho giá trị đầu tiên.
A = [0 −1; 1 0], một phép quay 90°, có p(λ) = λ² + 1, nên các giá trị riêng là i và −i: không có vectơ thực nào giữ nguyên hướng. Ma trận hoán vị vòng với các hàng (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) có p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), nên các giá trị riêng là 1 và các căn bậc ba phức của đơn vị (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] có λ = 2 với bội đại số 2 nhưng chỉ một hướng vectơ riêng, nên nó khuyết và không chéo hóa được.
Ma trận ba đường chéo 4 × 4 với 2 trên đường chéo và −1 ở hai bên có phổ vô tỷ, nên được tính bằng số: các giá trị riêng là 0,381966, 1,381966, 2,618034 và 3,618034, khớp với 2 − 2cos(kπ/5) với k = 1 đến 4.
Câu Hỏi Thường Gặp
- Làm sao tìm giá trị riêng của ma trận 2×2?
- Tính vết và định thức, viết λ² − (vết)λ + (định thức) = 0, rồi giải. Với [4 1; 2 3] đó là λ² − 7λ + 10 = 0, nên λ = 2 và λ = 5. Nếu biệt thức âm thì các giá trị riêng là hai số phức liên hợp.
- Làm sao tìm vectơ riêng khi đã có giá trị riêng?
- Với mỗi giá trị riêng λ, giải (A − λI)v = 0, thường bằng khử hàng. Các nghiệm tạo thành không gian riêng; mọi vectơ khác không trong đó đều là vectơ riêng, nên vectơ riêng chỉ được xác định sai khác một bội vô hướng.
- Ma trận thực có thể có giá trị riêng phức không?
- Có. Các giá trị riêng phức của ma trận thực đi thành cặp liên hợp. Phép quay mặt phẳng với góc khác 0° và 180° không có vectơ riêng thực, nên các giá trị riêng của nó là số phức.
- Giá trị riêng bằng 0 nghĩa là gì?
- Ma trận suy biến: det A = 0 vì định thức là tích các giá trị riêng, và các vectơ riêng ứng với 0 là nghiệm khác không của Ax = 0. Bội của 0 cho biết ma trận làm sụp đổ bao nhiêu chiều của không gian.
- Khi nào một ma trận chéo hóa được?
- Khi nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Các giá trị riêng phân biệt đảm bảo điều này, và ma trận thực đối xứng cũng vậy. Một giá trị riêng lặp lại có thể phá vỡ điều đó nếu không gian riêng của nó quá nhỏ, như trong [2 1; 0 2].
- Vì sao một số giá trị riêng được hiển thị dạng thập phân?
- Với ma trận 5 × 5 và 6 × 6, và với các đa thức bậc ba không có nghiệm hữu tỷ, không có công thức nghiệm nào mà công cụ này áp dụng, nên nó dùng thuật toán QR. Các giá trị đó chính xác khoảng mười chữ số; đa thức đặc trưng hiển thị bên cạnh vẫn chính xác.