Özdeğer Hesaplayıcı
6 × 6'ya kadar bir kare matris girin; özdeğerlerini ve özvektörlerini, karakteristik polinomunu, iz ve determinant kontrollerini ve varsa A = PDP⁻¹ köşegenleştirmesini alın. Özdeğerler, polinom izin verdiği sürece tam olarak — kesirler, kökler ya da karmaşık sayılar olarak — çıkar; aksi halde sayısal olarak. Ücretsiz, üyelik gerektirmez ve her şey tarayıcınızda çalışır.
Tam sayılar, ondalık sayılar ya da 3/4 gibi kesirler.
Sonuçlar
Özdeğerler (cebirsel katlılığa göre tekrarlı)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
İz
10
Determinant
Tam
Yöntem
Hayır
Simetrik mi?
Evet
Köşegenleştirilebilir mi?
Kontrol: özdeğerlerin toplamı izi, 7, çarpımı determinantı, 10, verir.
Karakteristik polinom
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Rasyonel kök teoremi: rasyonel bir kök, sabit terimin bir böleninin baş katsayının bir bölenine oranıdır. Bulunan kökler: 2, 5.
Özdeğerler ve özvektörler
Her özvektör (A − λI)v = 0'ın çözümüdür. Onun sıfırdan farklı her katı da bir özvektördür.
λ = 2
cebirsel katlılık 1, geometrik katlılık 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
cebirsel katlılık 1, geometrik katlılık 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Köşegenleştirme
Özvektörler P'nin sütunlarını oluşturur ve A = P D P⁻¹'dir; burada D, özdeğerlerin köşegen matrisidir.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Özdeğer Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır
- 1. Boyutu seçin. n'yi 2 ile 6 arasından seçin ve n × n matrisi doldurun. 3/4 gibi kesirler ve ondalık sayılar tam olarak okunur.
- 2. Özdeğerleri okuyun. Cebirsel katlılığa göre tekrarlarıyla listelenirler; yanlarında hızlı bir kontrol olarak iz ve determinant yer alır: özdeğerler toplandığında iz, çarpıldığında determinant çıkar.
- 3. Karakteristik polinomu izleyin. Hesaplayıcı p(λ) = det(λI − A) yazar, rasyonel köklerini çarpan olarak ayırır ve kalanı ikinci dereceden formülle çözer.
- 4. Özvektörleri inceleyin. Her özdeğer için A − λI ile özuzayının bir tabanını görürsünüz; A rasyonel sayılar üzerinde köşegenleştirilebilirse ayrıca P ve D de görünür.
Özdeğerler ve Özvektörler Nedir
Kare bir A matrisinin özvektörü, A'nın yalnızca uzattığı, asla döndürmediği sıfırdan farklı bir v vektörüdür: Av = λv. Skaler λ özdeğerdir. Düzenlersek, (A − λI)v = 0'ın sıfırdan farklı bir çözümü yalnızca A − λI tekil olduğunda vardır; bu da tam olarak det(A − λI) = 0 olduğunda gerçekleşir. Bu denklem karakteristik denklemdir ve polinom karakteristik polinomdur. Bu hesaplayıcı, yalnızca (−1)ⁿ çarpanıyla det(A − λI)'dan farklı ve aynı kökleri olan monik biçimi det(λI − A)'yı kullanır.
| Terim | Anlamı |
|---|---|
| Cebirsel katlılık | λ'nın karakteristik polinomun kaç kez kökü olduğu |
| Geometrik katlılık | Özuzayın boyutu: λ'nın kaç bağımsız özvektörü olduğu |
| Köşegenleştirilebilir | A'nın n bağımsız özvektörü vardır, dolayısıyla A = PDP⁻¹; bunun için her özdeğerde geometrik katlılık = cebirsel katlılık olmalıdır |
| Kusurlu | Bir özdeğerin geometrik katlılığı cebirsel katlılığının altındadır |
Geometrik katlılık hiçbir zaman cebirsel katlılıktan büyük olamaz. Gerçek simetrik matrisler her zaman köşegenleştirilebilir ve gerçek özdeğerlere sahiptir.
Tam Cevaplar ve Sayısal Cevaplar
Karakteristik polinom tam olarak hesaplanır, dolayısıyla içinde yuvarlama yoktur. Rasyonel kökler rasyonel kök teoremiyle bulunur ve polinomdan ayrılır. Geriye bir ikinci derece kalırsa, ikinci dereceden formül kalan iki özdeğeri kapalı biçimde verir — karmaşık olanlar dahil — ve özvektörler aynı sayı sisteminde tam olarak çözülür. Bu, her 2 × 2 matrisi, karakteristik polinomunun bir rasyonel kökü olan her 3 × 3 matrisi ve rasyonel kökler artı tek bir ikinci dereceye ayrılan daha büyük matrisleri kapsar.
Polinom bu şekilde çarpanlarına ayrılmadığında — indirgenemez bir kübik ya da irrasyonel köklü bir dördüncü dereceden polinom — hesaplayıcı çift duyarlıkta QR algoritmasına geçer. Matrisi Hessenberg formuna indirger, alt köşegen yok oluncaya kadar kaydırmalı QR adımları uygular ve özvektörleri ters iterasyonla bulur. İyi koşullu bir matriste yaklaşık on doğru basamak beklenir. Sanal kısmı boyutunun 10⁻⁹'undan küçük olan bir özdeğer gerçek olarak gösterilir ve sayfa hangi yöntemin kullanıldığını söyler.
Çalışılmış Örnekler
A = [4 1; 2 3]. İz 7, determinant 10'dur; dolayısıyla p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). λ = 2 için özvektör (1, −2), λ = 5 için (1, 1)'dir. O zaman P'nin sütunları (1, −2) ve (1, 1), D = diag(2, 5) ve A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (Fibonacci matrisi). Burada p(λ) = λ² − λ − 1'in diskriminantı 5'tir ve rasyonel kökü yoktur; dolayısıyla özdeğerler (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 — altın oran — ve (1 − √5)/2 ≈ −0,618034'tür; birincisinin özvektörü ((1 + √5)/2, 1)'dir.
A = [0 −1; 1 0], 90° döndürme, p(λ) = λ² + 1'e sahiptir; dolayısıyla özdeğerleri i ve −i'dir: hiçbir gerçek vektör yönünü korumaz. Döngüsel permütasyon matrisi, satırları (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) olan, p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1)'e sahiptir; dolayısıyla özdeğerleri 1 ve birim sayının karmaşık küp kökleri (−1 ± i√3)/2'dir. A = [2 1; 0 2]'nin λ = 2 için cebirsel katlılığı 2'dir ama yalnızca bir özvektör yönü vardır; bu yüzden kusurludur ve köşegenleştirilemez.
Köşegeninde 2, yanında −1 bulunan 4 × 4 üç köşegenli matrisin spektrumu irrasyoneldir, dolayısıyla sayısal olarak çalışır: özdeğerleri 0,381966, 1,381966, 2,618034 ve 3,618034'tür; bunlar k = 1'den 4'e kadar 2 − 2cos(kπ/5) ile eşleşir.
Sık sorulan sorular
- 2×2 bir matrisin özdeğerlerini nasıl bulursunuz?
- İz ve determinantı hesaplayın, λ² − (iz)λ + (determinant) = 0 yazın ve çözün. [4 1; 2 3] için bu λ² − 7λ + 10 = 0'dır; dolayısıyla λ = 2 ve λ = 5. Diskriminant negatifse özdeğerler karmaşık eşleniklerdir.
- Özdeğerleri bulduktan sonra özvektörleri nasıl bulursunuz?
- Her λ için (A − λI)v = 0'ı çözün, genellikle satır indirgemeyle. Çözümler bir özuzay oluşturur; orada sıfırdan farklı her vektör bir özvektördür, dolayısıyla özvektörler yalnızca bir skaler katına kadar tanımlıdır.
- Gerçek bir matrisin karmaşık özdeğerleri olabilir mi?
- Evet. Gerçek bir matrisin karmaşık özdeğerleri eşlenik çiftler halinde gelir. Düzlemin 0° ya da 180° dışında bir açıyla döndürülmesi gerçek bir özvektöre sahip değildir; dolayısıyla özdeğerleri karmaşıktır.
- Bir özdeğer 0 ise ne anlama gelir?
- Matris tekildir: determinant özdeğerlerin çarpımı olduğundan det A = 0'dır ve 0 için özvektörler Ax = 0'ın sıfırdan farklı çözümleridir. 0'ın katlılığı, matrisin uzayın ne kadarını çökerttiğini gösterir.
- Bir matris ne zaman köşegenleştirilebilir?
- n tane lineer bağımsız özvektörü olduğunda. Farklı özdeğerler bunu garanti eder; gerçek simetrik bir matris de öyledir. Tekrarlanan bir özdeğer, özuzayı çok küçükse bunu bozabilir; [2 1; 0 2] gibi.
- Bazı özdeğerler neden ondalık olarak gösterilir?
- 5 × 5 ve 6 × 6 matrisler için ve rasyonel kökü olmayan kübikler için bu aracın uyguladığı bir kök formülü yoktur; dolayısıyla QR algoritmasını kullanır. Bu değerler yaklaşık on basamağa kadar doğrudur; yanlarında gösterilen karakteristik polinom ise hâlâ tamdır.