Калькулятор собственных значений
Введите квадратную матрицу до 6 × 6 и получите её собственные значения и собственные векторы, характеристический многочлен, проверки следа и определителя и диагонализацию A = PDP⁻¹, когда она возможна. Собственные значения выводятся точно — как дроби, радикалы или комплексные числа — когда это позволяет многочлен, и численно в остальных случаях. Бесплатно, без регистрации: всё работает в вашем браузере.
Целые числа, десятичные дроби или дроби, например 3/4.
Результаты
Собственные значения (с повторами по алгебраической кратности)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
След
10
Определитель
Точный
Метод
Нет
Симметричная?
Да
Диагонализуемая?
Проверка: собственные значения в сумме дают след, 7, а в произведении — определитель, 10.
Характеристический многочлен
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Теорема о рациональных корнях: рациональный корень — это делитель свободного члена, делённый на делитель старшего коэффициента. Найденные корни: 2, 5.
Собственные значения и собственные векторы
Каждый собственный вектор решает уравнение (A − λI)v = 0. Любое его ненулевое кратное тоже является собственным вектором.
λ = 2
алгебраическая кратность 1, геометрическая кратность 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
алгебраическая кратность 1, геометрическая кратность 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Диагонализация
Собственные векторы образуют столбцы P, а A = P D P⁻¹, где D — диагональная матрица собственных значений.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Как пользоваться калькулятором собственных значений
- 1. Выберите размер. Укажите n от 2 до 6 и заполните матрицу n × n. Дроби вида 3/4 и десятичные числа считываются точно.
- 2. Читайте собственные значения. Они перечислены с повторами по алгебраической кратности, рядом стоят след и определитель для быстрой проверки: собственные значения в сумме дают след, а в произведении — определитель.
- 3. Следите за характеристическим многочленом. Калькулятор записывает p(λ) = det(λI − A), выносит его рациональные корни и решает оставшееся формулой квадратного уравнения.
- 4. Изучите собственные векторы. Для каждого собственного значения вы видите A − λI и базис его собственного подпространства, а также P и D, когда A диагонализуема над рациональными числами.
Что такое собственные значения и собственные векторы
Собственный вектор квадратной матрицы A — это ненулевой вектор v, который A только растягивает, но не поворачивает: Av = λv. Скаляр λ — собственное значение. Перенеся члены, получаем (A − λI)v = 0; ненулевое решение существует только тогда, когда A − λI вырождена, то есть det(A − λI) = 0. Это уравнение называется характеристическим, а его многочлен — характеристическим многочленом. Калькулятор использует приведённую форму det(λI − A), которая отличается от det(A − λI) лишь множителем (−1)ⁿ и имеет те же корни.
| Термин | Значение |
|---|---|
| Алгебраическая кратность | Сколько раз λ является корнем характеристического многочлена |
| Геометрическая кратность | Размерность собственного подпространства: сколько независимых собственных векторов имеет λ |
| Диагонализуемая | У A есть n независимых собственных векторов, поэтому A = PDP⁻¹; для этого геометрическая кратность должна равняться алгебраической для каждого собственного значения |
| Дефектная | У какого-то собственного значения геометрическая кратность меньше алгебраической |
Геометрическая кратность никогда не превышает алгебраическую. Вещественные симметричные матрицы всегда диагонализуемы, и их собственные значения вещественны.
Точные и численные ответы
Характеристический многочлен вычисляется точно, поэтому округления в нём нет. Рациональные корни находятся по теореме о рациональных корнях и выделяются из многочлена. Если остаётся квадратный трёхчлен, формула корней квадратного уравнения даёт оба оставшихся собственных значения в замкнутом виде, включая комплексные, а собственные векторы решаются точно в той же системе чисел. Так покрываются все матрицы 2 × 2, все матрицы 3 × 3, у которых характеристический многочлен имеет рациональный корень, и более крупные матрицы, которые раскладываются на рациональные корни и один квадратный множитель.
Когда многочлен так не раскладывается — неприводимый кубический или четвёртой степени с иррациональными корнями, — калькулятор переходит к QR-алгоритму в двойной точности. Он приводит матрицу к форме Хессенберга, применяет сдвиговые шаги QR, пока поддиагональ не обнулится, и находит собственные векторы обратными итерациями. Для хорошо обусловленной матрицы ожидайте около десяти верных знаков. Собственное значение, мнимая часть которого меньше 10⁻⁹ от его величины, показывается как вещественное, а страница сообщает, какой метод использован.
Примеры расчёта
A = [4 1; 2 3]. След равен 7, определитель 10, поэтому p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Для λ = 2 собственный вектор (1, −2), а для λ = 5 — (1, 1). Тогда P имеет столбцы (1, −2) и (1, 1), D = diag(2, 5) и A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (матрица Фибоначчи). Здесь p(λ) = λ² − λ − 1 имеет дискриминант 5 и не имеет рациональных корней, поэтому собственные значения равны (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 — золотому сечению — и (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, с собственным вектором ((1 + √5)/2, 1) для первого.
A = [0 −1; 1 0], поворот на 90°, имеет p(λ) = λ² + 1, поэтому его собственные значения равны i и −i: никакой вещественный вектор не сохраняет своего направления. Матрица циклической перестановки со строками (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) имеет p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), поэтому её собственные значения — 1 и комплексные кубические корни из единицы (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] имеет λ = 2 с алгебраической кратностью 2, но только одно направление собственного вектора, поэтому она дефектна и не диагонализуема.
Тридиагональная матрица 4 × 4 с 2 на диагонали и −1 рядом с ней имеет иррациональный спектр, поэтому считается численно: её собственные значения 0,381966, 1,381966, 2,618034 и 3,618034 совпадают с 2 − 2cos(kπ/5) при k от 1 до 4.
Часто задаваемые вопросы
- Как найти собственные значения матрицы 2×2?
- Вычислите след и определитель, запишите λ² − (след)λ + (определитель) = 0 и решите уравнение. Для [4 1; 2 3] это λ² − 7λ + 10 = 0, поэтому λ = 2 и λ = 5. Если дискриминант отрицателен, собственные значения комплексно сопряжены.
- Как найти собственные векторы, когда собственные значения известны?
- Для каждого собственного значения λ решите (A − λI)v = 0, обычно методом приведения строк. Решения образуют собственное подпространство; любой ненулевой вектор в нём — собственный, поэтому собственные векторы определены лишь с точностью до ненулевого множителя.
- Может ли вещественная матрица иметь комплексные собственные значения?
- Да. Комплексные собственные значения вещественной матрицы приходят парами комплексно сопряжённых чисел. Поворот плоскости на угол, отличный от 0° и 180°, не имеет вещественного собственного вектора, поэтому его собственные значения комплексны.
- Что значит, что собственное значение равно 0?
- Матрица вырождена: det A = 0, потому что определитель — произведение собственных значений, а собственные векторы для 0 — ненулевые решения Ax = 0. Кратность 0 показывает, какую часть пространства матрица схлопывает.
- Когда матрица диагонализуема?
- Когда у неё есть n линейно независимых собственных векторов. Различные собственные значения гарантируют это, как и вещественная симметричная матрица. Кратное собственное значение может помешать, если его собственное подпространство слишком мало, как в [2 1; 0 2].
- Почему некоторые собственные значения показаны десятичными дробями?
- Для матриц 5 × 5 и 6 × 6 и для кубических многочленов без рационального корня этот инструмент не применяет формулы корней, поэтому использует QR-алгоритм. Эти значения точны примерно до десяти знаков; характеристический многочлен рядом с ними по-прежнему точный.