特征值计算器
输入一个不超过 6 × 6 的方阵,即可得到它的特征值与特征向量、特征多项式、迹与行列式的校验,以及在存在时的对角化 A = PDP⁻¹。只要多项式允许,特征值就会以精确形式给出——分数、根式或复数;否则以数值形式给出。免费,无需注册,一切都在您的浏览器中运行。
整数、小数或分数,例如 3/4。
结果
特征值(按代数重数重复)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
迹
10
行列式
精确
方法
否
对称?
是
可对角化?
校验:特征值之和等于迹 7,之积等于行列式 10。
特征多项式
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- 有理根定理:有理根是常数项的因数除以首项系数的因数。找到的根:2, 5。
特征值与特征向量
每个特征向量满足 (A − λI)v = 0。它的任一非零倍数也是特征向量。
λ = 2
代数重数 1,几何重数 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
代数重数 1,几何重数 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
对角化
特征向量构成 P 的列,且 A = P D P⁻¹,其中 D 为特征值组成的对角矩阵。
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
如何使用特征值计算器
- 1. 选择大小。 选取 n 为 2 至 6,然后填写 n × n 矩阵。分数如 3/4 与小数都会按精确值读取。
- 2. 读取特征值。 特征值会按代数重数重复列出,旁边的迹与行列式可作快速检验:特征值之和等于迹,特征值之积等于行列式。
- 3. 跟随特征多项式。 计算器写出 p(λ) = det(λI − A),分解出其有理根,并用二次公式求解余下的部分。
- 4. 检查特征向量。 对每个特征值,您会看到 A − λI 以及其特征子空间的一组基;当 A 在有理数域上可对角化时,还会看到 P 与 D。
什么是特征值与特征向量
方阵 A 的特征向量是一个非零向量 v,A 只会拉伸它而不会使其转向:Av = λv。标量 λ 即为特征值。移项后,(A − λI)v = 0 有非零解,当且仅当 A − λI 奇异,也就是 det(A − λI) = 0。该方程称为特征方程,其左边是特征多项式。本计算器使用首一形式 det(λI − A),它与 det(A − λI) 只相差因子 (−1)ⁿ,根相同。
| 术语 | 含义 |
|---|---|
| 代数重数 | λ 作为特征多项式根的次数 |
| 几何重数 | 特征子空间的维数:λ 有多少个线性无关的特征向量 |
| 可对角化 | A 有 n 个线性无关的特征向量,因此 A = PDP⁻¹;这要求每个特征值的几何重数都等于其代数重数 |
| 亏损 | 某个特征值的几何重数小于其代数重数 |
几何重数永远不会大于代数重数。实对称矩阵总是可对角化的,且特征值均为实数。
精确答案与数值答案
特征多项式是精确计算的,因此其中没有舍入误差。有理根由有理根定理找出并被除去。若余下一个二次式,二次公式会以闭合形式给出其余两个特征值,包括复数特征值,而特征向量在同一数域中精确求解。这覆盖了每个 2 × 2 矩阵、每个特征多项式具有有理根的 3 × 3 矩阵,以及能分解为有理根加一个二次式的更大矩阵。
当多项式不能以这种方式分解时——例如不可约三次式,或根为无理数的四次式——计算器会切换到双精度的 QR 算法。它先把矩阵化为上 Hessenberg 形式,施加带位移的 QR 步骤直到次对角线消失,再用反迭代求特征向量。对于条件良好的矩阵,约有十位正确数字。虚部小于其大小(相对)10⁻⁹ 的特征值会显示为实数,页面会说明所用的方法。
示例
A = [4 1; 2 3]. 迹为 7,行列式为 10,因此 p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5)。当 λ = 2 时特征向量为 (1, −2),当 λ = 5 时为 (1, 1)。于是 P 的列为 (1, −2) 与 (1, 1),D = diag(2, 5),且 A = PDP⁻¹。
A = [1 1; 1 0](斐波那契矩阵)。这里 p(λ) = λ² − λ − 1,判别式为 5 且没有有理根,因此特征值为 (1 + √5)/2 ≈ 1.618034——即黄金分割比——以及 (1 − √5)/2 ≈ −0.618034。对应第一个特征值的特征向量为 ((1 + √5)/2, 1)。
A = [0 −1; 1 0],即 90° 旋转,其 p(λ) = λ² + 1,因此特征值为 i 与 −i:没有实向量能保持方向。循环置换矩阵,行为 (0, 1, 0)、(0, 0, 1)、(1, 0, 0),其 p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1),因此特征值为 1 以及 1 的复数立方根 (−1 ± i√3)/2。A = [2 1; 0 2] 的 λ = 2 具有代数重数 2,但只有一个特征向量方向,因此它是亏损的,不能对角化。
对角线为 2、相邻元素为 −1 的 4 × 4 三对角矩阵具有无理谱,因此以数值方式计算:其特征值为 0.381966、1.381966、2.618034 与 3.618034,与 k = 1 至 4 时的 2 − 2cos(kπ/5) 相符。
常见问题
- 如何求 2×2 矩阵的特征值?
- 计算迹与行列式,写出 λ² − (迹)λ + (行列式) = 0 并求解。对于 [4 1; 2 3],即 λ² − 7λ + 10 = 0,故 λ = 2 与 λ = 5。若判别式为负,则特征值为共轭复数。
- 求出特征值之后,如何求特征向量?
- 对每个特征值 λ,解 (A − λI)v = 0,通常用行化简。解的集合构成特征子空间;其中任一非零向量都是特征向量,因此特征向量只在非零倍数的意义下确定。
- 实矩阵能有复数特征值吗?
- 可以。实矩阵的复特征值成对共轭出现。平面绕某个角度(不是 0° 或 180°)的旋转没有实特征向量,因此其特征值为复数。
- 特征值为 0 说明什么?
- 说明矩阵是奇异的:行列式为 0,因为行列式等于特征值之积,而对应于 0 的特征向量就是 Ax = 0 的非零解。0 的重数告诉您矩阵压缩了多大的空间。
- 什么时候矩阵可以对角化?
- 当它有 n 个线性无关的特征向量时。互异的特征值可以保证这一点,实对称矩阵也满足。重复的特征值可能会破坏这一点,如果它的特征子空间太小,例如 [2 1; 0 2]。
- 为什么有些特征值以小数形式显示?
- 对于 5 × 5 与 6 × 6 矩阵,以及没有有理根的三次式,本工具没有可用的根式公式,因此采用 QR 算法。这些数值精确到约十位数字;旁边显示的特征多项式仍然是精确的。