Calculadora de valores propios
Introduce una matriz cuadrada de hasta 6 × 6 y obtén sus valores y vectores propios, el polinomio característico, las comprobaciones de traza y determinante, y la diagonalización A = PDP⁻¹ cuando existe. Los valores propios salen exactos —como fracciones, radicales o números complejos— siempre que el polinomio lo permita, y numéricamente en otro caso. Gratis, sin registro, y todo se ejecuta en tu navegador.
Números enteros, decimales o fracciones como 3/4.
Resultados
Valores propios (repetidos según la multiplicidad algebraica)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
Traza
10
Determinante
Exacto
Método
No
¿Simétrica?
Sí
¿Diagonalizable?
Comprobación: los valores propios suman la traza, 7, y se multiplican para dar el determinante, 10.
Polinomio característico
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Teorema de la raíz racional: una raíz racional es un divisor del término independiente entre un divisor del coeficiente principal. Raíces encontradas: 2, 5.
Valores propios y vectores propios
Cada vector propio resuelve (A − λI)v = 0. Cualquier múltiplo no nulo suyo también es un vector propio.
λ = 2
multiplicidad algebraica 1, multiplicidad geométrica 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
multiplicidad algebraica 1, multiplicidad geométrica 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Diagonalización
Los vectores propios forman las columnas de P, y A = P D P⁻¹ con D la matriz diagonal de valores propios.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Cómo usar la calculadora de valores propios
- 1. Elige el tamaño. Elige n de 2 a 6 y rellena la matriz n × n. Las fracciones como 3/4 y los decimales se leen con exactitud.
- 2. Lee los valores propios. Se listan repetidos según la multiplicidad algebraica, junto con la traza y el determinante como comprobación rápida: los valores propios suman la traza y se multiplican para dar el determinante.
- 3. Sigue el polinomio característico. La calculadora escribe p(λ) = det(λI − A), extrae sus raíces racionales y resuelve el resto con la fórmula cuadrática.
- 4. Revisa los vectores propios. Para cada valor propio ves A − λI y una base de su espacio propio, además de P y D cuando A es diagonalizable sobre los racionales.
Qué son los valores y vectores propios
Un vector propio de una matriz cuadrada A es un vector no nulo v que A solo estira, nunca gira: Av = λv. El escalar λ es el valor propio. Reordenando, (A − λI)v = 0 tiene solución no nula solo cuando A − λI es singular, lo que ocurre exactamente cuando det(A − λI) = 0. Esa ecuación es la ecuación característica, y el polinomio es el polinomio característico. Esta calculadora usa la forma mónica det(λI − A), que difiere de det(A − λI) solo por el factor (−1)ⁿ y tiene las mismas raíces.
| Término | Significado |
|---|---|
| Multiplicidad algebraica | Cuántas veces es λ raíz del polinomio característico |
| Multiplicidad geométrica | La dimensión del espacio propio: cuántos vectores propios independientes tiene λ |
| Diagonalizable | A tiene n vectores propios independientes, así que A = PDP⁻¹; esto exige que la multiplicidad geométrica sea igual a la algebraica en cada valor propio |
| Defectiva | Algún valor propio tiene multiplicidad geométrica menor que su multiplicidad algebraica |
La multiplicidad geométrica nunca es mayor que la algebraica. Las matrices reales simétricas siempre son diagonalizables, con valores propios reales.
Respuestas exactas y respuestas numéricas
El polinomio característico se calcula de forma exacta, así que no hay redondeo en él. Las raíces racionales se encuentran con el teorema de la raíz racional y se dividen. Si queda un cuadrático, la fórmula cuadrática da los dos valores propios restantes en forma cerrada, incluidos los complejos, y los vectores propios se resuelven de forma exacta en el mismo sistema numérico. Eso cubre cualquier matriz de 2 × 2, cualquier 3 × 3 cuyo polinomio característico tenga una raíz racional, y las matrices mayores que se descomponen en raíces racionales más un cuadrático.
Cuando el polinomio no se factoriza así —un cúbico irreducible, o un cuártico con raíces irracionales—, la calculadora pasa al algoritmo QR en doble precisión. Reduce la matriz a forma de Hessenberg, aplica pasos QR con desplazamiento hasta que la subdiagonal se anula, y encuentra los vectores propios por iteración inversa. Espera unas diez cifras correctas en una matriz bien condicionada. Un valor propio cuya parte imaginaria sea inferior a 10⁻⁹ de su tamaño se muestra como real, y la página indica qué método usó.
Ejemplos desarrollados
A = [4 1; 2 3]. La traza es 7 y el determinante 10, así que p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Para λ = 2 el vector propio es (1, −2), y para λ = 5 es (1, 1). Entonces P tiene columnas (1, −2) y (1, 1), D = diag(2, 5), y A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (la matriz de Fibonacci). Aquí p(λ) = λ² − λ − 1 tiene discriminante 5 y ninguna raíz racional, así que los valores propios son (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 —la razón áurea— y (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, con vector propio ((1 + √5)/2, 1) para el primero.
A = [0 −1; 1 0], una rotación de 90°, tiene p(λ) = λ² + 1, así que sus valores propios son i y −i: ningún vector real conserva su dirección. La matriz de permutación cíclica con filas (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) tiene p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), así que sus valores propios son 1 y las raíces cúbicas complejas de la unidad (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] tiene λ = 2 con multiplicidad algebraica 2 pero solo una dirección de vector propio, así que es defectiva y no puede diagonalizarse.
La matriz tridiagonal 4 × 4 con 2 en la diagonal y −1 a los lados tiene un espectro irracional, así que se calcula numéricamente: sus valores propios son 0,381966, 1,381966, 2,618034 y 3,618034, que coinciden con 2 − 2cos(kπ/5) para k = 1 a 4.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo se encuentran los valores propios de una matriz 2×2?
- Calcula la traza y el determinante, escribe λ² − (traza)λ + (determinante) = 0 y resuélvela. Para [4 1; 2 3] eso es λ² − 7λ + 10 = 0, así que λ = 2 y λ = 5. Si el discriminante es negativo, los valores propios son complejos conjugados.
- ¿Cómo se encuentran los vectores propios una vez que tienes los valores propios?
- Para cada valor propio λ, resuelve (A − λI)v = 0, normalmente por reducción de filas. Las soluciones forman el espacio propio; cualquier vector no nulo de él es un vector propio, así que los vectores propios solo están definidos salvo un múltiplo escalar.
- ¿Puede una matriz real tener valores propios complejos?
- Sí. Los valores propios complejos de una matriz real vienen en pares conjugados. Una rotación del plano de un ángulo distinto de 0° o 180° no tiene ningún vector propio real, así que sus valores propios son complejos.
- ¿Qué significa que un valor propio sea 0?
- Que la matriz es singular: det A = 0, porque el determinante es el producto de los valores propios, y los vectores propios para 0 son las soluciones no nulas de Ax = 0. La multiplicidad de 0 indica cuánto del espacio colapsa la matriz.
- ¿Cuándo es diagonalizable una matriz?
- Cuando tiene n vectores propios linealmente independientes. Los valores propios distintos lo garantizan, y también una matriz real simétrica. Un valor propio repetido puede impedirlo si su espacio propio es demasiado pequeño, como en [2 1; 0 2].
- ¿Por qué algunos valores propios se muestran como decimales?
- Para matrices de 5 × 5 y 6 × 6, y para cúbicos sin raíz racional, no hay una fórmula de raíces que esta herramienta aplique, así que usa el algoritmo QR. Esos valores son precisos con unas diez cifras; el polinomio característico que se muestra junto a ellos sigue siendo exacto.