Calculateur de valeurs propres
Saisissez une matrice carrée jusqu'à 6 × 6 et obtenez ses valeurs propres et vecteurs propres, le polynôme caractéristique, les contrôles par la trace et le déterminant, et la diagonalisation A = PDP⁻¹ lorsqu'elle existe. Les valeurs propres sortent exactement — sous forme de fractions, de radicaux ou de nombres complexes — chaque fois que le polynôme le permet, et numériquement sinon. Gratuit, sans inscription, et tout s'exécute dans votre navigateur.
Nombres entiers, décimaux ou fractions comme 3/4.
Résultats
Valeurs propres (répétées selon la multiplicité algébrique)
λ1 = 2, λ2 = 5
7
Trace
10
Déterminant
Exacte
Méthode
Non
Symétrique ?
Oui
Diagonalisable ?
Contrôle : les valeurs propres ont pour somme la trace, 7, et pour produit le déterminant, 10.
Polynôme caractéristique
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- Théorème des racines rationnelles : une racine rationnelle est un diviseur du terme constant divisé par un diviseur du coefficient dominant. Racines trouvées : 2, 5.
Valeurs propres et vecteurs propres
Chaque vecteur propre résout (A − λI)v = 0. Tout multiple non nul de celui-ci est aussi un vecteur propre.
λ = 2
multiplicité algébrique 1, multiplicité géométrique 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
multiplicité algébrique 1, multiplicité géométrique 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
Diagonalisation
Les vecteurs propres forment les colonnes de P, et A = P D P⁻¹ où D est la matrice diagonale des valeurs propres.
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
Comment utiliser le calculateur de valeurs propres
- 1. Choisissez la taille. Choisissez n de 2 à 6 et remplissez la matrice n × n. Les fractions comme 3/4 et les décimales sont lues exactement.
- 2. Lisez les valeurs propres. Elles sont listées avec répétitions selon la multiplicité algébrique, à côté de la trace et du déterminant comme contrôle rapide : les valeurs propres ont pour somme la trace et pour produit le déterminant.
- 3. Suivez le polynôme caractéristique. Le calculateur écrit p(λ) = det(λI − A), en extrait les racines rationnelles et résout le reste avec la formule du second degré.
- 4. Examinez les vecteurs propres. Pour chaque valeur propre, vous voyez A − λI et une base de son sous-espace propre, ainsi que P et D lorsque A est diagonalisable sur les rationnels.
Ce que sont valeurs propres et vecteurs propres
Un vecteur propre d'une matrice carrée A est un vecteur non nul v que A ne fait qu'étirer, sans le faire tourner : Av = λv. Le scalaire λ est la valeur propre. Réécrit, (A − λI)v = 0 admet une solution non nulle seulement lorsque A − λI est singulière, c'est-à-dire exactement lorsque det(A − λI) = 0. Cette équation est l'équation caractéristique, et le polynôme correspondant est le polynôme caractéristique. Ce calculateur utilise la forme unitaire det(λI − A), qui ne diffère de det(A − λI) que par le facteur (−1)ⁿ et a les mêmes racines.
| Terme | Signification |
|---|---|
| Multiplicité algébrique | Nombre de fois où λ est racine du polynôme caractéristique |
| Multiplicité géométrique | Dimension du sous-espace propre : nombre de vecteurs propres indépendants associés à λ |
| Diagonalisable | A possède n vecteurs propres indépendants, donc A = PDP⁻¹ ; cela exige que la multiplicité géométrique égale l'algébrique pour chaque valeur propre |
| Défective | Une valeur propre a une multiplicité géométrique inférieure à sa multiplicité algébrique |
La multiplicité géométrique n'est jamais supérieure à la multiplicité algébrique. Les matrices réelles symétriques sont toujours diagonalisables, avec des valeurs propres réelles.
Réponses exactes et réponses numériques
Le polynôme caractéristique est calculé exactement, donc il n'y a aucun arrondi. Les racines rationnelles sont trouvées par le théorème des racines rationnelles, puis retirées. S'il reste un trinôme, la formule du second degré donne les deux valeurs propres restantes sous forme fermée, y compris complexes, et les vecteurs propres sont résolus exactement dans le même système de nombres. Cela couvre toute matrice 2 × 2, toute matrice 3 × 3 dont le polynôme caractéristique a une racine rationnelle, et les matrices plus grandes qui se factorisent en racines rationnelles plus un trinôme.
Lorsque le polynôme ne se factorise pas ainsi — un cubique irréductible, ou un quartique à racines irrationnelles — le calculateur passe à l'algorithme QR en double précision. Il réduit la matrice en forme de Hessenberg, applique des itérations QR décalées jusqu'à ce que la sous-diagonale s'annule, et trouve les vecteurs propres par itération inverse. Comptez environ dix chiffres corrects pour une matrice bien conditionnée. Une valeur propre dont la partie imaginaire est inférieure à 10⁻⁹ de sa taille est affichée comme réelle, et la page indique la méthode utilisée.
Exemples détaillés
A = [4 1; 2 3]. La trace vaut 7 et le déterminant 10, donc p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Pour λ = 2 le vecteur propre est (1, −2), et pour λ = 5 il est (1, 1). Alors P a pour colonnes (1, −2) et (1, 1), D = diag(2, 5), et A = PDP⁻¹.
A = [1 1; 1 0] (la matrice de Fibonacci). Ici p(λ) = λ² − λ − 1 a pour discriminant 5 et n'a pas de racine rationnelle, donc les valeurs propres sont (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 — le nombre d'or — et (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, avec le vecteur propre ((1 + √5)/2, 1) pour la première.
A = [0 −1; 1 0], une rotation de 90°, a p(λ) = λ² + 1, donc ses valeurs propres sont i et −i : aucun vecteur réel ne garde sa direction. La matrice de permutation cyclique de lignes (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) a p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), donc ses valeurs propres sont 1 et les racines cubiques complexes de l'unité (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] a λ = 2 avec multiplicité algébrique 2, mais une seule direction de vecteur propre ; elle est donc défective et ne peut pas être diagonalisée.
La matrice tridiagonale 4 × 4 à 2 sur la diagonale et −1 à côté a un spectre irrationnel, donc elle se calcule numériquement : ses valeurs propres sont 0,381966, 1,381966, 2,618034 et 3,618034, qui correspondent à 2 − 2cos(kπ/5) pour k = 1 à 4.
Questions fréquentes
- Comment trouver les valeurs propres d'une matrice 2×2 ?
- Calculez la trace et le déterminant, écrivez λ² − (trace)λ + (déterminant) = 0, puis résolvez. Pour [4 1; 2 3], cela donne λ² − 7λ + 10 = 0, donc λ = 2 et λ = 5. Si le discriminant est négatif, les valeurs propres sont des complexes conjugués.
- Comment trouver les vecteurs propres une fois les valeurs propres connues ?
- Pour chaque valeur propre λ, résolvez (A − λI)v = 0, en général par réduction de lignes. Les solutions forment le sous-espace propre ; tout vecteur non nul de ce sous-espace est un vecteur propre, si bien que les vecteurs propres ne sont définis qu'à un multiple scalaire près.
- Une matrice réelle peut-elle avoir des valeurs propres complexes ?
- Oui. Les valeurs propres complexes d'une matrice réelle viennent par paires conjuguées. Une rotation du plan d'un angle différent de 0° ou 180° n'a aucun vecteur propre réel, donc ses valeurs propres sont complexes.
- Que signifie une valeur propre égale à 0 ?
- La matrice est singulière : det A = 0, puisque le déterminant est le produit des valeurs propres, et les vecteurs propres pour 0 sont les solutions non nulles de Ax = 0. La multiplicité de 0 indique quelle part de l'espace la matrice écrase.
- Quand une matrice est-elle diagonalisable ?
- Lorsqu'elle possède n vecteurs propres linéairement indépendants. Des valeurs propres distinctes le garantissent, et c'est aussi le cas d'une matrice réelle symétrique. Une valeur propre répétée peut l'empêcher si son sous-espace propre est trop petit, comme dans [2 1; 0 2].
- Pourquoi certaines valeurs propres sont-elles affichées en décimales ?
- Pour les matrices 5 × 5 et 6 × 6, et pour les cubiques sans racine rationnelle, l'outil n'applique aucune formule de racines ; il utilise donc l'algorithme QR. Ces valeurs sont précises à environ dix chiffres près ; le polynôme caractéristique affiché à côté reste exact.