Calculateur de transformations géométriques

Résultats

Images des points

Matrice de transformation

Chaque étape est une matrice 3 × 3 agissant sur (x, y, 1). Les matrices se multiplient de droite à gauche : la première étape est le facteur le plus à droite.

Avant et après

Le bleu représente l'original, l'orange l'image finale, les contours en pointillés la figure après chaque étape précédente, et le vert marque une droite de symétrie ou un centre.

Comment utiliser le calculateur de transformations géométriques

1. 1. Saisissez les points. Tapez un couple x, y par ligne, jusqu'à douze. Trois points ou plus sont tracés comme un polygone, dans l'ordre où vous les indiquez.
2. 2. Choisissez une transformation. Chaque étape est une translation, une symétrie, une rotation ou une homothétie, avec ses propres réglages : le déplacement, la droite de symétrie, l'angle et le centre, ou le rapport d'homothétie et le centre.
3. 3. Enchaînez les étapes si besoin. Ajoutez jusqu'à quatre étapes ; elles s'appliquent dans l'ordre affiché. Les contours en pointillés du graphique montrent la figure après chaque étape précédente.
4. 4. Lisez les images, les matrices et le graphique. Le tableau donne chaque point et son image ; les matrices traduisent la transformation en nombres ; et le graphique superpose la figure d'origine au résultat.

Les quatre transformations rigides et de similitude

Matrices de transformation

Les translations ne sont pas linéaires : une matrice 2 × 2 ne peut donc pas les décrire. L'astuce consiste à utiliser les coordonnées homogènes : on écrit le point (x, y, 1) et on utilise des matrices 3 × 3. Une translation de (a, b) devient la matrice aux lignes (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1) ; une rotation d'angle θ devient (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1) ; une homothétie de rapport k devient (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Comme chaque étape est une matrice, toute une suite se réduit à une seule matrice : le produit des matrices des étapes, la première étape étant le facteur le plus à droite. Une rotation autour d'un centre (c, d) s'écrit T(c, d) · R · T(−c, −d).

Le déterminant de la partie 2 × 2 de la matrice indique comment les aires changent et si la figure est retournée. Un déterminant égal à 1 conserve l'aire et l'orientation (translations et rotations) ; −1 conserve l'aire mais inverse l'orientation (une seule symétrie) ; et k² multiplie les aires par le carré du rapport d'homothétie. Le calculateur indique ce déterminant ainsi que le facteur par lequel les distances sont multipliées.

Exemples détaillés

Partons du triangle A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), dont l'aire vaut 3.

• Rotation de 90° dans le sens antihoraire autour de l'origine. (x, y) devient (−y, x), donc A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). La matrice est (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), de déterminant 1.
• Symétrie par rapport à l'axe des y. (x, y) devient (−x, y) : A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). Le déterminant vaut −1, donc l'orientation est inversée.
• Translation de (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Homothétie de rapport k = 2 autour de l'origine. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Les longueurs doublent, et l'aire passe de 3 à 12 = 3 × 2².
• Rotation de 45° autour de l'origine. Le point (1, 0) devient (√2/2, √2/2), gardé sous forme exacte.
• L'ordre compte. Prenons le point (1, 0). Rotation de 90° puis translation de (1, 0) : (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Translation puis rotation : (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Symétrie par rapport à d'autres droites

Pour la droite y = mx + b, le calculateur utilise la matrice de symétrie par rapport à y = mx, soit (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) divisée par 1 + m², encadrée de translations de b. Tous les coefficients sont rationnels, donc le résultat est exact. Une droite verticale x = c envoie x sur 2c − x. Par exemple, la symétrie de l'origine par rapport à y = x + 2 donne (−2, 2), car la droite est la médiatrice du segment qui relie les deux points.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une transformation géométrique ?

Une règle qui déplace chaque point du plan vers une nouvelle position. Les translations glissent, les symétries retournent la figure par rapport à une droite, les rotations tournent autour d'un centre et les homothéties changent la taille autour d'un centre. Les trois premières sont des déplacements rigides qui conservent les distances ; une homothétie conserve la forme mais modifie la taille.

Comment faire tourner un point de 90 degrés autour de l'origine ?

Dans le sens antihoraire, (x, y) devient (−y, x) ; dans le sens horaire, il devient (y, −x). Pour (3, 2), cela donne (−2, 3) dans le sens antihoraire et (2, −3) dans le sens horaire. Une rotation de 180° envoie (x, y) sur (−x, −y).

Comment faire tourner autour d'un point autre que l'origine ?

Retranchez le centre au point, faites tourner le résultat autour de l'origine, puis rajoutez le centre. Le calculateur le fait pour vous grâce à la matrice T(c) · R · T(−c), et aussi pour les homothéties autour d'un centre choisi.

Que se passe-t-il pour l'aire lors d'une homothétie ?

Les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k². Un rapport de 3 rend la figure trois fois plus large et neuf fois plus grande en aire. Un k négatif retourne aussi la figure par le centre, ce qui revient à une homothétie de rapport |k| suivie d'une rotation de 180°.

L'ordre des transformations compte-t-il ?

En général oui. La multiplication des matrices n'est pas commutative : une rotation suivie d'une translation n'est pas la même chose qu'une translation suivie de la rotation, comme dans l'exemple ci-dessus. Deux rotations autour du même centre, ou deux translations, commutent en revanche.

Comment faire une symétrie par rapport à la droite y = x ?

Échangez les coordonnées : (x, y) devient (y, x). La symétrie par rapport à y = −x envoie (x, y) sur (−y, −x). Pour toute autre droite y = mx + b, choisissez cette option à l'étape de symétrie et saisissez m et b.