Calcolatore di trasformazioni geometriche

Risultati

Immagini dei punti

Matrice di trasformazione

Ogni passo è una matrice 3 × 3 che agisce su (x, y, 1). Le matrici si moltiplicano da destra a sinistra, quindi il primo passo è il fattore più a destra.

Prima e dopo

Il blu è l'originale, l'arancione l'immagine finale, i contorni tratteggiati la figura dopo ciascun passo precedente, e il verde indica una retta di riflessione o un centro.

Come usare il calcolatore di trasformazioni geometriche

1. 1. Inserisci i punti. Digita una coppia x, y per riga, fino a dodici. Tre o più punti vengono disegnati come un poligono, nell'ordine in cui li elenchi.
2. 2. Scegli una trasformazione. Ogni passo è una traslazione, una riflessione, una rotazione o una dilatazione, con le proprie impostazioni: lo spostamento, la retta di riflessione, l'angolo e il centro, oppure il fattore di scala e il centro.
3. 3. Concatena i passi se ti serve. Aggiungi fino a quattro passi; vengono applicati nell'ordine mostrato. I contorni tratteggiati nel grafico mostrano la figura dopo ciascun passo precedente.
4. 4. Leggi le immagini, le matrici e il grafico. La tabella elenca ogni punto e la sua immagine; le matrici mostrano la trasformazione in forma numerica; il grafico sovrappone l'originale al risultato.

Le quattro trasformazioni rigide e di similitudine

Matrici di trasformazione

Le traslazioni non sono lineari, quindi una matrice 2 × 2 non può descriverle. Il trucco sono le coordinate omogenee: scrivi il punto come (x, y, 1) e usa matrici 3 × 3. Una traslazione di (a, b) diventa la matrice con righe (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1); una rotazione di θ diventa (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1); una dilatazione di k è (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Poiché ogni passo è una matrice, un'intera sequenza è una sola matrice: il prodotto delle matrici dei singoli passi, con il primo passo come fattore più a destra. Una rotazione attorno a un centro (c, d) è T(c, d) · R · T(−c, −d).

Il determinante della parte 2 × 2 della matrice indica come cambiano le aree e se la figura è specchiata. Un determinante pari a 1 conserva area e orientamento (traslazioni e rotazioni); −1 conserva l'area ma inverte l'orientamento (una riflessione singola); k² scala le aree per il quadrato del fattore di scala. Il calcolatore riporta quel determinante insieme al fattore per cui vengono moltiplicate le distanze.

Esempi svolti

Parti dal triangolo A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), la cui area è 3.

• Ruota di 90° in senso antiorario attorno all'origine. (x, y) diventa (−y, x), quindi A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). La matrice è (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), con determinante 1.
• Rifletti rispetto all'asse y. (x, y) diventa (−x, y): A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). Il determinante è −1, quindi l'orientamento è invertito.
• Trasla di (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Dilata con k = 2 rispetto all'origine. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Le lunghezze raddoppiano e l'area passa da 3 a 12 = 3 × 2².
• Ruota di 45° attorno all'origine. Il punto (1, 0) va in (√2/2, √2/2), mantenuto esatto.
• L'ordine conta. Prendi il punto (1, 0). Ruota di 90° e poi trasla di (1, 0): (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Trasla prima e poi ruota: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Riflessioni rispetto ad altre rette

Per la retta y = mx + b il calcolatore usa la matrice di riflessione rispetto a y = mx, cioè (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) divisa per 1 + m², racchiusa tra traslazioni di b. Tutti gli elementi sono razionali, quindi il risultato è esatto. Una retta verticale x = c manda x in 2c − x. Ad esempio, riflettendo l'origine rispetto a y = x + 2 si ottiene (−2, 2), perché la retta è l'asse del segmento che unisce il punto alla sua immagine.

Domande frequenti

Che cos'è una trasformazione geometrica?

Una regola che sposta ogni punto del piano in una nuova posizione. Le traslazioni scivolano, le riflessioni ribaltano rispetto a una retta, le rotazioni girano attorno a un centro e le dilatazioni ridimensionano rispetto a un centro. Le prime tre sono movimenti rigidi che non alterano le distanze; una dilatazione conserva la forma ma cambia la dimensione.

Come si ruota un punto di 90 gradi attorno all'origine?

In senso antiorario, (x, y) diventa (−y, x); in senso orario, diventa (y, −x). Per (3, 2) si ottiene (−2, 3) in senso antiorario e (2, −3) in senso orario. Una rotazione di 180° manda (x, y) in (−x, −y).

Come si ruota attorno a un punto diverso dall'origine?

Sottrai il centro dal punto, ruota il risultato attorno all'origine, poi aggiungi di nuovo il centro. Il calcolatore lo fa per te tramite la matrice T(c) · R · T(−c), e lo fa anche per le dilatazioni rispetto a un centro scelto.

Che cosa succede all'area in una dilatazione?

Le lunghezze vengono moltiplicate per |k| e le aree per k². Un fattore di scala 3 rende la figura tre volte più larga e nove volte più estesa in area. Un k negativo fa anche ribaltare la figura attorno al centro, come una dilatazione per |k| seguita da una rotazione di 180°.

L'ordine delle trasformazioni conta?

Di solito sì. La moltiplicazione di matrici non è commutativa, quindi una rotazione seguita da una traslazione è diversa dalla traslazione seguita dalla rotazione, come nell'esempio sopra. Due rotazioni attorno allo stesso centro, o due traslazioni, commutano.

Come si riflette rispetto alla retta y = x?

Scambia le coordinate: (x, y) diventa (y, x). Riflettere rispetto a y = −x manda (x, y) in (−y, −x). Per qualsiasi altra retta y = mx + b, scegli quell'opzione nel passo di riflessione e inserisci m e b.