ज्यामितीय रूपांतरण कैलकुलेटर

परिणाम

बिंदुओं के प्रतिबिंब

रूपांतरण आव्यूह

हर चरण (x, y, 1) पर कार्य करने वाला 3 × 3 आव्यूह है। आव्यूह दाएँ से बाएँ गुणित होते हैं, इसलिए पहला चरण सबसे दाईं ओर का गुणनखंड है।

पहले और बाद में

नीला मूल है, नारंगी अंतिम प्रतिबिंब है, बिंदुकित रेखाएँ हर पिछले चरण के बाद की आकृति हैं, और हरा परावर्तन रेखा या केंद्र को दर्शाता है।

ज्यामितीय रूपांतरण कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. 1. बिंदु दर्ज करें। हर पंक्ति में एक x, y जोड़ा लिखें, अधिकतम बारह तक। तीन या अधिक बिंदु आपके दिए क्रम में जुड़कर एक बहुभुज बनाते हैं।
2. 2. एक रूपांतरण चुनें। हर चरण स्थानांतरण, परावर्तन, घूर्णन या विस्तार होता है, जिसकी अपनी सेटिंग होती है: खिसकाव, दर्पण रेखा, कोण और केंद्र, या मापक गुणक और केंद्र।
3. 3. ज़रूरत हो तो चरण जोड़ें। अधिकतम चार चरण जोड़ सकते हैं; वे दिखाए गए क्रम में लागू होते हैं। आलेख की बिंदुकित रेखाएँ हर पिछले चरण के बाद की आकृति दिखाती हैं।
4. 4. प्रतिबिंब, आव्यूह और आलेख पढ़ें। तालिका हर बिंदु और उसका प्रतिबिंब दिखाती है; आव्यूह रूपांतरण को संख्याओं में दिखाते हैं; और आलेख मूल आकृति को परिणाम पर आरोपित करता है।

चार कठोर और समरूप रूपांतरण

रूपांतरण आव्यूह

स्थानांतरण रैखिक नहीं होते, इसलिए 2 × 2 आव्यूह उन्हें व्यक्त नहीं कर सकता। इसकी युक्ति समरूप निर्देशांक हैं: बिंदु को (x, y, 1) लिखें और 3 × 3 आव्यूह प्रयोग करें। (a, b) द्वारा स्थानांतरण पंक्तियों (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1) वाला आव्यूह बनता है; θ से घूर्णन (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1) बनता है; और k से विस्तार (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1) बनता है। चूँकि हर चरण एक आव्यूह है, पूरा क्रम भी एक ही आव्यूह है: चरणों के आव्यूहों का गुणनफल, जिसमें पहला चरण सबसे दाईं ओर का गुणनखंड है। केंद्र (c, d) के परितः घूर्णन T(c, d) · R · T(−c, −d) है।

आव्यूह के 2 × 2 कोने का सारणिक बताता है कि क्षेत्रफल कैसे बदलते हैं और आकृति दर्पण-प्रतिबिंबित है या नहीं। सारणिक 1 क्षेत्रफल और अभिविन्यास बनाए रखता है (स्थानांतरण और घूर्णन); −1 क्षेत्रफल रखता है पर अभिविन्यास पलट देता है (एकल परावर्तन); और k² क्षेत्रफलों को मापक गुणक के वर्ग से गुणित करता है। कैलकुलेटर यह सारणिक और वह गुणक दिखाता है जिससे दूरियाँ गुणित होती हैं।

हल किए गए उदाहरण

त्रिभुज A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3) से शुरू करें, जिसका क्षेत्रफल 3 है।

• मूल बिंदु के परितः 90° वामावर्त घुमाएँ। (x, y) (−y, x) बन जाता है, इसलिए A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1)। आव्यूह (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1) है, जिसका सारणिक 1 है।
• y-अक्ष में परावर्तित करें। (x, y) (−x, y) बन जाता है: A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3)। सारणिक −1 है, इसलिए अभिविन्यास उलट गया।
• (3, −2) द्वारा स्थानांतरित करें। A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1)।
• मूल बिंदु के परितः k = 2 से विस्तार करें। A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6)। लंबाइयाँ दुगुनी होती हैं, और क्षेत्रफल 3 से 12 = 3 × 2² हो जाता है।
• मूल बिंदु के परितः 45° घुमाएँ। बिंदु (1, 0) (√2/2, √2/2) पर जाता है, और यह सटीक रूप में रखा जाता है।
• क्रम मायने रखता है। बिंदु (1, 0) लें। पहले 90° घुमाएँ और फिर (1, 0) द्वारा स्थानांतरित करें: (1, 0) → (0, 1) → (1, 1)। पहले स्थानांतरित करें और फिर घुमाएँ: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2)।

अन्य रेखाओं में परावर्तन

रेखा y = mx + b के लिए कैलकुलेटर y = mx के परितः परावर्तन आव्यूह का उपयोग करता है, जो (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) है और जिसे 1 + m² से भाग दिया गया है, तथा b के स्थानांतरणों में लिपटा है। सारे अवयव परिमेय हैं, इसलिए परिणाम सटीक है। ऊर्ध्वाधर रेखा x = c x को 2c − x पर भेजती है। उदाहरण के लिए, मूल बिंदु को y = x + 2 में परावर्तित करने पर (−2, 2) मिलता है, क्योंकि रेखा उस रेखाखंड का लंबद्विभाजक है जो दोनों बिंदुओं को जोड़ता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

ज्यामितीय रूपांतरण क्या है?

एक नियम जो तल के हर बिंदु को नई स्थिति में ले जाता है। स्थानांतरण खिसकाते हैं, परावर्तन किसी रेखा के आर-पार पलटते हैं, घूर्णन किसी केंद्र के परितः घुमाते हैं और विस्तार किसी केंद्र के परितः आकार बदलते हैं। पहले तीन कठोर गतियाँ हैं जो दूरियाँ अपरिवर्तित रखती हैं; विस्तार आकृति को वही रखता है पर उसका आकार बदलता है।

किसी बिंदु को मूल बिंदु के परितः 90 डिग्री कैसे घुमाएँ?

वामावर्त हो तो (x, y) (−y, x) बन जाता है; दक्षिणावर्त हो तो (y, −x)। (3, 2) के लिए वामावर्त (−2, 3) और दक्षिणावर्त (2, −3) मिलता है। 180° घूर्णन (x, y) को (−x, −y) पर भेजता है।

मूल बिंदु के अलावा किसी अन्य बिंदु के परितः कैसे घुमाएँ?

बिंदु में से केंद्र घटाएँ, परिणाम को मूल बिंदु के परितः घुमाएँ, फिर केंद्र वापस जोड़ें। कैलकुलेटर यह T(c) · R · T(−c) आव्यूह से करता है, और विस्तार के लिए भी चुने हुए केंद्र के परितः।

विस्तार के अंतर्गत क्षेत्रफल का क्या होता है?

लंबाइयाँ |k| से और क्षेत्रफल k² से गुणित होते हैं। मापक गुणक 3 आकृति को तीन गुना चौड़ा और क्षेत्रफल को नौ गुना कर देता है। ऋणात्मक k आकृति को केंद्र के आर-पार भी पलट देता है, जो |k| से विस्तार और फिर 180° घूर्णन के समतुल्य है।

क्या रूपांतरणों का क्रम मायने रखता है?

आम तौर पर हाँ। आव्यूहों का गुणन क्रम-विनिमेय नहीं है, इसलिए घूर्णन के बाद स्थानांतरण उस स्थानांतरण से भिन्न है जो पहले आता है, जैसा ऊपर के उदाहरण में है। एक ही केंद्र के परितः दो घूर्णन, या दो स्थानांतरण, क्रम-विनिमेय होते हैं।

मैं y = x रेखा में परावर्तन कैसे करूँ?

निर्देशांक बदल दें: (x, y) (y, x) बन जाता है। y = −x में परावर्तन (x, y) को (−y, −x) पर भेजता है। किसी अन्य रेखा y = mx + b के लिए, परावर्तन चरण में वह विकल्प चुनें और m तथा b दर्ज करें।