Công Cụ Tính Phép Biến Đổi Hình Học

Kết quả

Ảnh của các điểm

Ma trận biến đổi

Mỗi bước là một ma trận 3 × 3 tác động lên (x, y, 1). Các ma trận nhân từ phải sang trái, nên bước đầu tiên là thừa số ngoài cùng bên phải.

Trước và sau

Màu xanh dương là hình gốc, màu cam là ảnh cuối cùng, đường viền chấm là hình sau mỗi bước trước đó, và màu xanh lá đánh dấu một đường đối xứng hoặc một tâm.

Cách Sử Dụng Công Cụ Tính Phép Biến Đổi Hình Học

1. 1. Nhập các điểm. Gõ mỗi cặp x, y trên một dòng, tối đa mười hai cặp. Từ ba điểm trở lên sẽ được vẽ thành đa giác theo thứ tự bạn liệt kê.
2. 2. Chọn một phép biến đổi. Mỗi bước là một phép tịnh tiến, đối xứng, quay hoặc vị tự, với các thiết lập riêng: độ dịch chuyển, đường đối xứng, góc và tâm, hoặc hệ số vị tự và tâm.
3. 3. Ghép các bước nếu cần. Thêm tối đa bốn bước; chúng được áp dụng theo thứ tự hiển thị. Các đường chấm trong biểu đồ cho thấy hình sau mỗi bước trước đó.
4. 4. Đọc ảnh, ma trận và biểu đồ. Bảng liệt kê mọi điểm và ảnh của nó; ma trận biểu diễn phép biến đổi bằng số; còn biểu đồ chồng hình gốc lên kết quả.

Bốn Phép Biến Đổi Cứng và Đồng Dạng

Ma Trận Biến Đổi

Phép tịnh tiến không phải là phép biến đổi tuyến tính, nên ma trận 2 × 2 không thể mô tả nó. Cách giải quyết là tọa độ thuần nhất: viết điểm dưới dạng (x, y, 1) và dùng ma trận 3 × 3. Phép tịnh tiến theo (a, b) trở thành ma trận có các hàng (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1); phép quay góc θ là (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1); phép vị tự tỉ số k là (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Vì mỗi bước là một ma trận, cả chuỗi là một ma trận duy nhất: tích các ma trận của từng bước, với bước đầu tiên là thừa số ngoài cùng bên phải. Phép quay quanh tâm (c, d) là T(c, d) · R · T(−c, −d).

Định thức của phần góc 2 × 2 của ma trận cho biết diện tích thay đổi thế nào và hình có bị lật ảnh gương hay không. Định thức bằng 1 giữ nguyên diện tích và định hướng (tịnh tiến và quay); −1 giữ nguyên diện tích nhưng đảo định hướng (một phép đối xứng đơn); còn k² thì nhân diện tích với bình phương hệ số vị tự. Công cụ báo cáo định thức này cùng với hệ số mà khoảng cách được nhân lên.

Ví Dụ Minh Họa

Bắt đầu với tam giác A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), có diện tích 3.

• Quay 90° ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ. (x, y) thành (−y, x), nên A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). Ma trận là (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), với định thức 1.
• Đối xứng qua trục y. (x, y) thành (−x, y): A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). Định thức là −1, nên định hướng bị đảo ngược.
• Tịnh tiến theo (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Vị tự với k = 2 quanh gốc tọa độ. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Độ dài tăng gấp đôi, và diện tích đi từ 3 lên 12 = 3 × 2².
• Quay 45° quanh gốc tọa độ. Điểm (1, 0) thành (√2/2, √2/2), giữ nguyên dạng chính xác.
• Thứ tự có ý nghĩa. Lấy điểm (1, 0). Quay 90° rồi tịnh tiến theo (1, 0): (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Tịnh tiến trước rồi mới quay: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Đối Xứng Qua Các Đường Khác

Với đường thẳng y = mx + b, công cụ dùng ma trận đối xứng qua y = mx, tức là (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) chia cho 1 + m², bọc trong các phép tịnh tiến theo b. Mọi phần tử đều là số hữu tỉ, nên kết quả chính xác. Đường thẳng đứng x = c đưa x thành 2c − x. Ví dụ, đối xứng gốc tọa độ qua y = x + 2 cho (−2, 2), vì đường thẳng đó là đường trung trực của đoạn nối hai điểm.

Câu Hỏi Thường Gặp

Phép biến đổi hình học là gì?

Một quy tắc đưa mọi điểm của mặt phẳng đến vị trí mới. Phép tịnh tiến trượt hình, phép đối xứng lật hình qua một đường, phép quay xoay hình quanh một tâm, còn phép vị tự đổi kích thước hình quanh một tâm. Ba phép đầu là chuyển động cứng, giữ nguyên khoảng cách; phép vị tự giữ nguyên hình dạng nhưng thay đổi kích cỡ.

Làm thế nào để quay một điểm 90 độ quanh gốc tọa độ?

Ngược chiều kim đồng hồ, (x, y) thành (−y, x); thuận chiều kim đồng hồ, thành (y, −x). Với (3, 2), kết quả là (−2, 3) khi quay ngược chiều và (2, −3) khi quay thuận chiều. Phép quay 180° đưa (x, y) thành (−x, −y).

Làm thế nào để quay quanh một điểm khác gốc tọa độ?

Trừ tâm khỏi điểm, quay kết quả quanh gốc tọa độ, rồi cộng lại tâm. Công cụ làm việc này cho bạn qua ma trận T(c) · R · T(−c), và cũng áp dụng cho phép vị tự quanh một tâm đã chọn.

Diện tích thay đổi thế nào dưới phép vị tự?

Độ dài được nhân với |k| và diện tích được nhân với k². Hệ số vị tự 3 làm hình rộng gấp ba lần và có diện tích gấp chín lần. Hệ số k âm cũng lật hình qua tâm, tương đương với vị tự với tỉ số |k| rồi quay 180°.

Thứ tự các phép biến đổi có quan trọng không?

Thường là có. Phép nhân ma trận không giao hoán, nên quay rồi tịnh tiến khác với tịnh tiến rồi quay, như trong ví dụ trên. Hai phép quay cùng tâm, hoặc hai phép tịnh tiến, thì giao hoán được.

Làm thế nào để đối xứng qua đường y = x?

Đổi chỗ hai tọa độ: (x, y) thành (y, x). Đối xứng qua y = −x đưa (x, y) thành (−y, −x). Với đường y = mx + b bất kỳ, chọn tùy chọn đó ở bước đối xứng và nhập m và b.