幾何変換計算ツール
点の集合または多角形の頂点を入力し、平行移動、反転、回転、拡大縮小から最大4つの変換を選ぶと、各点の像、各ステップと全体の行列、変換前後の図形のグラフが得られます。30°、45°、90°などの標準的な角度は正確な値のまま表示されます。無料で、登録は不要です。入力したデータがブラウザの外に送信されることはありません。
3つ以上の点は、入力した順に多角形として描かれます。
変換（順に適用されます）
整数、小数、または 3/4 のような分数。
結果
1
距離は次の倍率で掛けられます
1
面積の倍率（行列式）
保たれる
向き
3 → 3
多角形の面積
各点の像
| 点 | 元の点 | 像 |
|---|---|---|
| A → A′ | (1, 1) | (−1, 1) |
| B → B′ | (4, 1) | (−1, 4) |
| C → C′ | (1, 3) | (−3, 1) |
変換行列
各ステップは (x, y, 1) に作用する 3 × 3 行列です。行列は右から左へ掛けられるので、最初のステップが右端の因数になります。
| 0 | −1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
変換前と後
青は元の図形、オレンジは最終的な像、点線の輪郭は前のステップを適用した後の図形、緑は反転の直線または中心を表します。
幾何変換計算ツールの使い方
- 1. 点を入力します。 1行に x, y の組を1つずつ、最大12個まで入力します。3つ以上の点は、入力した順に多角形として描かれます。
- 2. 変換を選びます。 各ステップは平行移動、反転、回転、拡大縮小のいずれかで、それぞれに独自の設定があります。移動量、対称の直線、角度と中心、または拡大率と中心を指定します。
- 3. 必要に応じてステップを組み合わせます。 ステップは最大4つまで追加でき、表示された順に適用されます。グラフの点線の輪郭は、それより前のステップを適用した後の図形を示します。
- 4. 像、行列、グラフを読み取ります。 表には各点とその像が一覧され、行列は変換を数値で示し、グラフでは元の図形と結果を重ねて表示します。
4つの合同変換と相似変換
| 変換 | (x, y) への規則 | 保たれる性質 |
|---|---|---|
| (a, b) による平行移動 | (x + a, y + b) | 大きさ、形、向き、方向 |
| x 軸に関する反転 | (x, −y) | 大きさと形。向きは反転する |
| y 軸に関する反転 | (−x, y) | 大きさと形。向きは反転する |
| y = x に関する反転 | (y, x) | 大きさと形。向きは反転する |
| 原点を中心とする θ の回転 | (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) | 大きさ、形、向き |
| 原点を中心とする k 倍の拡大縮小 | (kx, ky) | 形。長さは |k| 倍、面積は k² 倍になる |
原点以外の中心や直線に関する変換は、これらを組み合わせて作ります。中心を原点に移し、変換してから元の位置に戻します。
変換行列
平行移動は線形ではないので、2 × 2 行列では表せません。そこで同次座標を使います。点を (x, y, 1) と書き、3 × 3 行列を用いるのです。(a, b) による平行移動は、行が (1, 0, a)、(0, 1, b)、(0, 0, 1) の行列になります。θ の回転は (cos θ, −sin θ, 0)、(sin θ, cos θ, 0)、(0, 0, 1) になり、k 倍の拡大縮小は (k, 0, 0)、(0, k, 0)、(0, 0, 1) になります。各ステップが行列で表せるので、一連の変換全体も1つの行列になります。それは各ステップの行列の積で、最初のステップが右端の因数になります。中心 (c, d) を中心とする回転は T(c, d) · R · T(−c, −d) です。
行列の左上の 2 × 2 部分の行列式は、面積がどう変わるか、また図形が鏡像になるかどうかを示します。行列式が 1 なら面積と向きは保たれ（平行移動と回転）、−1 なら面積は保たれますが向きは反転し（1回の反転）、k² なら面積は拡大率の二乗倍になります。計算ツールは、この行列式とともに距離が何倍になるかも表示します。
具体例
三角形 A(1, 1)、B(4, 1)、C(1, 3) から始めましょう。その面積は 3 です。
- 原点を中心に反時計回りに 90° 回転します。 (x, y) は (−y, x) になるので、A′(−1, 1)、B′(−1, 4)、C′(−3, 1) です。行列は (0, −1, 0)、(1, 0, 0)、(0, 0, 1) で、行列式は 1 です。
- y 軸に関して反転します。 (x, y) は (−x, y) になるので、A′(−1, 1)、B′(−4, 1)、C′(−1, 3) です。行列式は −1 なので、向きは反転します。
- (3, −2) だけ平行移動します。 A′(4, −1)、B′(7, −1)、C′(4, 1) です。
- 原点を中心に k = 2 で拡大します。 A′(2, 2)、B′(8, 2)、C′(2, 6) です。長さは 2 倍になり、面積は 3 から 12 = 3 × 2² に変わります。
- 原点を中心に 45° 回転します。 点 (1, 0) は (√2/2, √2/2) に移り、この値は正確なまま残ります。
- 順序が重要です。 点 (1, 0) で考えます。90° 回転してから (1, 0) だけ平行移動すると、(1, 0) → (0, 1) → (1, 1) です。先に平行移動してから回転すると、(1, 0) → (2, 0) → (0, 2) です。
他の直線に関する反転
直線 y = mx + b に関して、計算ツールは y = mx に関する反転の行列を使い、それを b による平行移動で挟みます。その行列は (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) を 1 + m² で割ったもので、すべての要素は有理数なので、結果は正確です。縦の直線 x = c は x を 2c − x に移します。例えば、原点を直線 y = x + 2 に関して反転すると (−2, 2) になります。この直線は、点とその像を結ぶ線分の垂直二等分線だからです。
よくある質問
- 幾何変換とは何ですか？
- 平面上のすべての点を新しい位置に移す規則です。平行移動はずらし、反転は直線を軸に裏返し、回転は中心を軸に回し、拡大縮小は中心を基準に大きさを変えます。最初の3つは距離を変えない剛体運動で、拡大縮小は形を保ったまま大きさを変えます。
- 原点を中心に点を90°回転させるにはどうすればよいですか？
- 反時計回りでは (x, y) が (−y, x) になり、時計回りでは (y, −x) になります。(3, 2) の場合、反時計回りは (−2, 3)、時計回りは (2, −3) です。180° 回転では (x, y) は (−x, −y) になります。
- 原点以外の点を中心に回転させるにはどうすればよいですか？
- 点から中心を引き、その結果を原点を中心に回転させてから、中心を再び足します。計算ツールは、これを T(c) · R · T(−c) という行列で処理します。選んだ中心を基準にした拡大縮小も同様に処理します。
- 拡大縮小では面積はどう変わりますか？
- 長さは |k| 倍、面積は k² 倍になります。拡大率が 3 の場合、図形は幅が 3 倍、面積は 9 倍になります。k が負の数の場合は、中心を通して図形も反転します。これは |k| 倍の拡大縮小の後に 180° 回転するのと同じです。
- 変換の順序は重要ですか？
- 通常は重要です。行列の積は交換法則が成り立たないので、回転の後に平行移動するのと、平行移動の後に回転するのとでは結果が異なります。上の例のとおりです。同じ中心を中心とする2つの回転や、2つの平行移動は、順序を入れ替えても結果が同じです。
- 直線 y = x に関して反転するにはどうすればよいですか？
- 座標を入れ替えます。(x, y) は (y, x) になります。直線 y = −x に関する反転では、(x, y) は (−y, −x) になります。その他の直線 y = mx + b の場合は、反転のステップでその直線を選び、m と b を入力してください。