Kalkulator przekształceń geometrycznych

Wyniki

Obrazy punktów

Macierz przekształcenia

Każdy krok to macierz 3 × 3 działająca na (x, y, 1). Macierze mnoży się od prawej do lewej, więc pierwszy krok jest czynnikiem najbardziej z prawej.

Przed i po

Niebieski to oryginał, pomarańczowy to obraz końcowy, kropkowane kontury pokazują kształt po każdym wcześniejszym kroku, a zielony zaznacza linię odbicia lub środek.

Jak korzystać z kalkulatora przekształceń geometrycznych

1. 1. Wpisz punkty. Wpisz jedną parę x, y w każdym wierszu, do dwunastu. Trzy lub więcej punktów jest rysowanych jako wielokąt w kolejności, w jakiej je podasz.
2. 2. Wybierz przekształcenie. Każdy krok to przesunięcie, odbicie, obrót lub jednokładność, z własnymi ustawieniami: wektorem przesunięcia, prostą odbicia, kątem i środkiem albo współczynnikiem skali i środkiem.
3. 3. W razie potrzeby połącz kroki. Dodaj do czterech kroków; są stosowane w pokazanej kolejności. Kropkowane kontury na wykresie pokazują kształt po każdym wcześniejszym kroku.
4. 4. Odczytaj obrazy, macierze i wykres. Tabela zawiera każdy punkt i jego obraz; macierze pokazują przekształcenie w liczbach; a wykres nakłada oryginał na wynik.

Cztery przekształcenia sztywne i podobieństwa

Macierze przekształceń

Przesunięcia nie są liniowe, więc macierz 2 × 2 nie może ich opisać. Sztuczka polega na współrzędnych jednorodnych: punkt zapisuje się jako (x, y, 1), a przekształcenia jako macierze 3 × 3. Przesunięcie o (a, b) staje się macierzą o wierszach (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1); obrót o θ staje się macierzą o wierszach (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1); jednokładność o skali k to (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Ponieważ każdy krok jest macierzą, cały ciąg jest jedną macierzą: iloczynem macierzy kroków, przy czym pierwszy krok jest czynnikiem najbardziej z prawej. Obrót wokół środka (c, d) to T(c, d) · R · T(−c, −d).

Wyznacznik lewego górnego bloku 2 × 2 macierzy mówi, jak zmieniają się pola i czy kształt jest odbity lustrzanie. Wyznacznik równy 1 zachowuje pole i orientację (przesunięcia i obroty); −1 zachowuje pole, ale odwraca orientację (pojedyncze odbicie); a k² skaluje pola przez kwadrat współczynnika skali. Kalkulator podaje ten wyznacznik wraz z czynnikiem, przez który mnożone są odległości.

Przykłady krok po kroku

Zacznij od trójkąta A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), którego pole wynosi 3.

• Obróć o 90° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara względem początku układu. (x, y) staje się (−y, x), więc A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). Macierz to (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), a wyznacznik wynosi 1.
• Odbij względem osi y. (x, y) staje się (−x, y): A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). Wyznacznik wynosi −1, więc orientacja jest odwrócona.
• Przesuń o (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Wykonaj jednokładność o k = 2 względem początku układu. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Długości się podwajają, a pole rośnie z 3 do 12 = 3 × 2².
• Obróć o 45° względem początku układu. Punkt (1, 0) przechodzi w (√2/2, √2/2), zapisany dokładnie.
• Kolejność ma znaczenie. Weź punkt (1, 0). Obróć o 90°, a potem przesuń o (1, 0): (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Najpierw przesuń, a potem obróć: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Odbicie względem innych prostych

Dla prostej y = mx + b kalkulator stosuje macierz odbicia względem prostej y = mx, czyli (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) podzieloną przez 1 + m², otoczoną przesunięciami o b. Wszystkie wpisy są wymierne, więc wynik jest dokładny. Pionowa prosta x = c przekształca x w 2c − x. Na przykład odbicie początku układu względem prostej y = x + 2 daje (−2, 2), ponieważ prosta jest symetralną odcinka łączącego punkt z jego obrazem.

Najczęstsze pytania

Czym jest przekształcenie geometryczne?

Regułą, która przenosi każdy punkt płaszczyzny w nowe położenie. Przesunięcia przesuwają, odbicia odwracają względem prostej, obroty obracają wokół środka, a jednokładności zmieniają rozmiar względem środka. Pierwsze trzy to ruchy sztywne, które nie zmieniają odległości; jednokładność zachowuje kształt, ale zmienia jego rozmiar.

Jak obrócić punkt o 90 stopni względem początku układu?

Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (x, y) staje się (−y, x); zgodnie z ruchem wskazówek zegara staje się (y, −x). Dla (3, 2) daje to (−2, 3) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i (2, −3) zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Obrót o 180° przekształca (x, y) w (−x, −y).

Jak obracać względem punktu innego niż początek układu?

Odejmij środek od punktu, obróć wynik względem początku układu, a potem dodaj środek z powrotem. Kalkulator robi to za Ciebie przez macierz T(c) · R · T(−c), a także dla jednokładności względem wybranego środka.

Co dzieje się z polem przy jednokładności?

Długości są mnożone przez |k|, a pola przez k². Współczynnik skali 3 sprawia, że kształt jest trzy razy szerszy i ma dziewięciokrotnie większe pole. Ujemne k odbija też kształt przez środek, co jest równoważne jednokładności o |k|, po której następuje obrót o 180°.

Czy kolejność przekształceń ma znaczenie?

Zwykle tak. Mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc obrót, po którym następuje przesunięcie, różni się od przesunięcia, po którym następuje obrót, jak w przykładzie powyżej. Dwa obroty wokół tego samego środka albo dwa przesunięcia są przemienne.

Jak odbić względem prostej y = x?

Zamień współrzędne: (x, y) staje się (y, x). Odbicie względem prostej y = −x przekształca (x, y) w (−y, −x). Dla każdej innej prostej y = mx + b wybierz tę opcję w kroku odbicia i wpisz m oraz b.