Kalkulator wartości własnych

Wyniki

Kontrola: wartości własne sumują się do śladu, 7, i mnożą do wyznacznika, 10.

Wielomian charakterystyczny

• Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych: pierwiastek wymierny to dzielnik wyrazu wolnego podzielony przez dzielnik współczynnika wiodącego. Znalezione pierwiastki: 2, 5.

Wartości i wektory własne

Każdy wektor własny rozwiązuje (A − λI)v = 0. Każda jego niezerowa wielokrotność jest także wektorem własnym.

Diagonalizacja

Wektory własne tworzą kolumny P, a A = P D P⁻¹, gdzie D to diagonalna macierz wartości własnych.

Jak korzystać z kalkulatora wartości własnych

1. 1. Wybierz rozmiar. Ustaw n od 2 do 6 i wypełnij macierz n × n. Ułamki takie jak 3/4 oraz liczby dziesiętne są odczytywane dokładnie.
2. 2. Odczytaj wartości własne. Są wypisane z powtórzeniami zgodnie z krotnością algebraiczną, obok śladu i wyznacznika jako szybka kontrola: wartości własne sumują się do śladu i mnożą do wyznacznika.
3. 3. Prześledź wielomian charakterystyczny. Kalkulator zapisuje p(λ) = det(λI − A), wyłącza jego wymierne pierwiastki i rozwiązuje to, co zostaje, wzorem na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
4. 4. Sprawdź wektory własne. Dla każdej wartości własnej widzisz A − λI i bazę jej podprzestrzeni własnej, a także P i D, gdy A jest diagonalizowalna nad liczbami wymiernymi.

Czym są wartości i wektory własne

Wektor własny macierzy kwadratowej A to niezerowy wektor v, który A tylko rozciąga, nigdy nie obraca: Av = λv. Skalar λ to wartość własna. Po przekształceniu (A − λI)v = 0 ma niezerowe rozwiązanie tylko wtedy, gdy A − λI jest osobliwa, czyli dokładnie gdy det(A − λI) = 0. To równanie to równanie charakterystyczne, a wielomian to wielomian charakterystyczny. Kalkulator używa postaci unormowanej det(λI − A), która różni się od det(A − λI) tylko czynnikiem (−1)ⁿ i ma te same pierwiastki.

Odpowiedzi dokładne i numeryczne

Wielomian charakterystyczny liczy się dokładnie, więc nie ma w nim zaokrągleń. Wymierne pierwiastki znajduje się twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych i wydziela. Jeśli zostaje trójmian kwadratowy, wzór kwadratowy podaje obie pozostałe wartości własne w postaci zamkniętej, także zespolone, a wektory własne rozwiązuje się dokładnie w tym samym układzie liczbowym. Obejmuje to każdą macierz 2 × 2, każdą macierz 3 × 3, której wielomian charakterystyczny ma wymierny pierwiastek, oraz większe macierze, które rozkładają się na wymierne pierwiastki i jeden trójmian kwadratowy.

Gdy wielomian nie rozkłada się w ten sposób — nierozkładalny wielomian sześcienny albo wielomian czwartego stopnia z niewymiernymi pierwiastkami — kalkulator przełącza się na algorytm QR w podwójnej precyzji. Sprowadza macierz do postaci Hessenberga, stosuje przesunięte kroki QR, aż subdiagonala się wyzeruje, i znajduje wektory własne odwrotną iteracją. Spodziewaj się około dziesięciu poprawnych cyfr dla dobrze uwarunkowanej macierzy. Wartość własna, której część urojona jest mniejsza niż 10⁻⁹ jej wielkości, jest pokazywana jako rzeczywista, a strona podaje, której metody użyła.

Przykłady krok po kroku

A = [4 1; 2 3]. Ślad wynosi 7, a wyznacznik 10, więc p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Dla λ = 2 wektor własny to (1, −2), a dla λ = 5 to (1, 1). Wtedy P ma kolumny (1, −2) i (1, 1), D = diag(2, 5) i A = PDP⁻¹.

A = [1 1; 1 0] (macierz Fibonacciego). Tutaj p(λ) = λ² − λ − 1 ma wyróżnik 5 i brak wymiernych pierwiastków, więc wartości własne to (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 — złota proporcja — oraz (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, a wektor własny dla pierwszej to ((1 + √5)/2, 1).

A = [0 −1; 1 0], obrót o 90°, ma p(λ) = λ² + 1, więc jej wartości własne to i oraz −i: żaden wektor rzeczywisty nie zachowuje kierunku. Macierz permutacji cyklicznej z wierszami (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) ma p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), więc jej wartości własne to 1 oraz zespolone pierwiastki sześcienne z jedności (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] ma λ = 2 o krotności algebraicznej 2, ale tylko jeden kierunek wektora własnego, więc jest defektywna i nie da się jej zdiagonalizować.

Macierz tridiagonalna 4 × 4 z 2 na przekątnej i −1 obok niej ma niewymierne widmo, więc liczy się ją numerycznie: jej wartości własne to 0,381966, 1,381966, 2,618034 i 3,618034, zgodnie z 2 − 2cos(kπ/5) dla k = 1 do 4.

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć wartości własne macierzy 2×2?

Oblicz ślad i wyznacznik, zapisz λ² − (ślad)λ + (wyznacznik) = 0 i rozwiąż. Dla [4 1; 2 3] to λ² − 7λ + 10 = 0, więc λ = 2 i λ = 5. Jeśli wyróżnik jest ujemny, wartości własne są sprzężonymi liczbami zespolonymi.

Jak znaleźć wektory własne, gdy mam już wartości własne?

Dla każdej wartości własnej λ rozwiąż (A − λI)v = 0, zwykle przez redukcję wierszy. Rozwiązania tworzą podprzestrzeń własną; każdy niezerowy wektor w niej jest wektorem własnym, więc wektory własne są określone tylko z dokładnością do wielokrotności skalarnej.

Czy macierz rzeczywista może mieć zespolone wartości własne?

Tak. Zespolone wartości własne macierzy rzeczywistej występują w parach sprzężonych. Obrót płaszczyzny o kąt inny niż 0° czy 180° nie ma rzeczywistego wektora własnego, więc jego wartości własne są zespolone.

Co oznacza, że wartość własna wynosi 0?

Macierz jest osobliwa: det A = 0, bo wyznacznik jest iloczynem wartości własnych, a wektory własne dla 0 to niezerowe rozwiązania Ax = 0. Krotność zera mówi, jak bardzo macierz zwija przestrzeń.

Kiedy macierz jest diagonalizowalna?

Gdy ma n liniowo niezależnych wektorów własnych. Gwarantują to różne wartości własne, a także rzeczywista macierz symetryczna. Powtórzona wartość własna może to zepsuć, jeśli jej podprzestrzeń własna jest za mała, jak w [2 1; 0 2].

Dlaczego niektóre wartości własne są pokazane jako liczby dziesiętne?

Dla macierzy 5 × 5 i 6 × 6 oraz dla wielomianów sześciennych bez wymiernego pierwiastka nie ma wzoru na pierwiastki, który to narzędzie stosuje, więc używa algorytmu QR. Te wartości są dokładne mniej więcej do dziesięciu cyfr; wielomian charakterystyczny pokazany obok nich jest nadal dokładny.