固有値計算ツール
6 × 6 以下の正方行列を入力すると、固有値と固有ベクトル、特性多項式、トレースと行列式による検算、そして対角化可能な場合は A = PDP⁻¹ が得られます。多項式が許す限り、固有値は分数、根号、複素数として厳密に求まり、それ以外は数値で求めます。無料で、登録は不要です。すべてブラウザ内で計算します。
整数、小数、または 3/4 のような分数。
結果
固有値（代数的重複度に従って重複して表示）
λ1 = 2, λ2 = 5
7
トレース
10
行列式
厳密
方法
いいえ
対称行列か？
はい
対角化可能か？
検算：固有値の和はトレース 7 に、積は行列式 10 に一致します。
特性多項式
p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10
p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)
- 有理根定理：有理根は、定数項の約数を最高次の係数の約数で割った値です。求まった根：2, 5。
固有値と固有ベクトル
各固有ベクトルは (A − λI)v = 0 を解いて求めます。その零でない定数倍もまた固有ベクトルです。
λ = 2
代数的重複度 1、幾何学的重複度 1
| 2 | 1 |
| 2 | 1 |
| 1 |
| −2 |
λ = 5
代数的重複度 1、幾何学的重複度 1
| −1 | 1 |
| 2 | −2 |
| 1 |
| 1 |
対角化
固有ベクトルが P の列を成し、A = PDP⁻¹ となります。D は固有値を対角成分とする対角行列です。
| 1 | 1 |
| −2 | 1 |
| 2 | 0 |
| 0 | 5 |
固有値計算ツールの使い方
- 1. サイズを選びます。 n を2から6の間で選び、n × n の行列を入力します。3/4 のような分数や小数は厳密に読み取られます。
- 2. 固有値を読みます。 代数的重複度に従って重複して並びます。あわせて、簡単な検算としてトレースと行列式が示されます。固有値の和はトレースに、積は行列式に一致します。
- 3. 特性多項式をたどります。 ツールは p(λ) = det(λI − A) を書き下し、有理根を取り出して、残りを二次式の解の公式で解きます。
- 4. 固有ベクトルを調べます。 各固有値について、A − λI と、その固有空間の基底が表示されます。A が有理数の範囲で対角化可能な場合は、P と D も表示されます。
固有値と固有ベクトルとは
正方行列 A の固有ベクトルとは、A が向きを変えずに伸縮させるだけの、零ではないベクトル v です。Av = λv。このスカラー λ が固有値です。整理すると、(A − λI)v = 0 が零でない解をもつのは、A − λI が特異なとき、すなわち det(A − λI) = 0 のときに限ります。その方程式が固有方程式で、その多項式が特性多項式です。このツールは det(λI − A) という首項係数1の形を用います。これは det(A − λI) と (−1)ⁿ の因子しか違わず、根は同じです。
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 代数的重複度 | λ が特性多項式の根になる回数 |
| 幾何学的重複度 | 固有空間の次元。λ に対して独立な固有ベクトルの個数 |
| 対角化可能 | A は n 個の独立な固有ベクトルをもつので A = PDP⁻¹ と書ける。これには、すべての固有値で幾何学的重複度 = 代数的重複度が必要 |
| 欠陥（非対角化可能） | ある固有値の幾何学的重複度が、代数的重複度より小さい |
幾何学的重複度が代数的重複度を超えることはありません。実対称行列は必ず対角化可能で、固有値は実数です。
厳密解と数値解
特性多項式は厳密に計算されるため、そこには丸め誤差はありません。有理根は有理根定理で求め、割り算で取り除きます。二次式が残れば、解の公式で残りの2つの固有値を閉じた形で求めます。複素数の場合も含みます。固有ベクトルも同じ数の体系で厳密に解きます。これで、すべての2×2行列、特性多項式に有理根がある3×3行列、そして有理根と二次式1つに分解される大きな行列を扱えます。
多項式がそのように因数分解されない場合（既約な3次式や、無理根をもつ4次式など）は、倍精度のQR法に切り替えます。行列をヘッセンベルグ形に変換し、副対角成分が0になるまでシフト付きQR反復を行い、逆反復法で固有ベクトルを求めます。条件のよい行列では、正しい桁がおよそ10桁得られる見込みです。虚部が大きさの 10⁻⁹ 倍より小さい固有値は実数として表示し、どの方法を使ったかをページに示します。
具体例
A = [4 1; 2 3]. トレースは7、行列式は10なので、p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5) です。λ = 2 の固有ベクトルは (1, −2)、λ = 5 では (1, 1) です。したがって P は列が (1, −2) と (1, 1) で、D = diag(2, 5)、A = PDP⁻¹ となります。
A = [1 1; 1 0]（フィボナッチ行列）。ここで p(λ) = λ² − λ − 1 の判別式は5で、有理根はありません。そのため固有値は (1 + √5)/2 ≈ 1.618034（黄金比）と (1 − √5)/2 ≈ −0.618034 で、前者の固有ベクトルは ((1 + √5)/2, 1) です。
A = [0 −1; 1 0]（90°回転）は p(λ) = λ² + 1 をもつので、固有値は i と −i です。実ベクトルで向きが変わらないものはありません。巡回置換行列（行が (0, 1, 0)、(0, 0, 1)、(1, 0, 0)）は p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1) なので、固有値は 1 と、1の複素立方根 (−1 ± i√3)/2 です。A = [2 1; 0 2] は λ = 2 が代数的重複度2ですが、固有ベクトルの向きは1つしかないため欠陥で、対角化できません。
対角成分が2、その隣が−1の4 × 4三重対角行列は、無理数のスペクトルをもつので数値的に計算されます。固有値は 0.381966、1.381966、2.618034、3.618034 で、k = 1〜4 について 2 − 2cos(kπ/5) と一致します。
よくある質問
- 2×2行列の固有値はどのように求めますか？
- トレースと行列式を計算し、λ² − (トレース)λ + (行列式) = 0 を立てて解きます。[4 1; 2 3] では λ² − 7λ + 10 = 0 なので、λ = 2 と λ = 5 です。判別式が負なら、固有値は複素共役になります。
- 固有値がわかったら、固有ベクトルはどのように求めますか？
- 各固有値 λ について (A − λI)v = 0 を、通常は行基本変形で解きます。解の集合が固有空間で、その中の零でないベクトルはどれも固有ベクトルです。そのため固有ベクトルは、定数倍の任意性があるだけです。
- 実数行列が複素固有値をもつことはありますか？
- はい。実行列の複素固有値は共役の対になって現れます。平面を0°または180°以外の角度で回転させる行列は実数の固有ベクトルをもたないので、その固有値は複素数です。
- 固有値が0の場合は何を意味しますか？
- 行列が特異であることを意味します。行列式は固有値の積なので det A = 0 です。0に対応する固有ベクトルは Ax = 0 の零でない解です。0の重複度は、行列が空間をどれだけつぶしているかを示します。
- 行列はいつ対角化できますか？
- n 個の一次独立な固有ベクトルをもつときです。固有値がすべて異なれば保証され、実対称行列も保証されます。重複する固有値では、固有空間が小さすぎると対角化できなくなります。例は [2 1; 0 2] です。
- 一部の固有値が小数で表示されるのはなぜですか？
- 5 × 5 と 6 × 6 の行列、および有理根をもたない3次式には、本ツールが適用する根の公式がないため、QR法を使います。その値はおよそ10桁まで正確です。その横に示される特性多項式は、依然として厳密です。