Wie findet man die Eigenwerte einer 2×2-Matrix?

Berechnen Sie Spur und Determinante, schreiben Sie λ² − (Spur)λ + (Determinante) = 0 und lösen Sie die Gleichung. Für [4 1; 2 3] lautet sie λ² − 7λ + 10 = 0, also λ = 2 und λ = 5. Ist die Diskriminante negativ, sind die Eigenwerte komplex konjugiert.

Wie findet man die Eigenvektoren, wenn man die Eigenwerte kennt?

Für jeden Eigenwert λ lösen Sie (A − λI)v = 0, meist durch Zeilenreduktion. Die Lösungen bilden den Eigenraum; jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor darin ist ein Eigenvektor. Eigenvektoren sind deshalb nur bis auf ein skalares Vielfaches bestimmt.

Kann eine reelle Matrix komplexe Eigenwerte haben?

Ja. Komplexe Eigenwerte einer reellen Matrix treten in konjugierten Paaren auf. Eine Drehung der Ebene um einen anderen Winkel als 0° oder 180° hat keinen reellen Eigenvektor, daher sind ihre Eigenwerte komplex.

Was bedeutet es, wenn ein Eigenwert 0 ist?

Die Matrix ist singulär: det A = 0, denn die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, und die Eigenvektoren zu 0 sind die vom Nullvektor verschiedenen Lösungen von Ax = 0. Die Vielfachheit der 0 zeigt, wie stark die Matrix den Raum verkleinert.

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat. Verschiedene Eigenwerte garantieren das, ebenso eine reelle symmetrische Matrix. Ein mehrfacher Eigenwert kann es verhindern, wenn sein Eigenraum zu klein ist, wie bei [2 1; 0 2].

Warum sind manche Eigenwerte als Dezimalzahlen angegeben?

Für 5 × 5- und 6 × 6-Matrizen sowie für kubische Polynome ohne rationale Nullstelle gibt es keine Wurzelformel, die dieser Rechner anwendet. Daher verwendet er den QR-Algorithmus. Diese Werte sind auf etwa zehn Stellen genau; das daneben gezeigte charakteristische Polynom ist dennoch exakt.

Eigenwert-Rechner

Geben Sie eine quadratische Matrix bis 6 × 6 ein und erhalten Sie ihre Eigenwerte und Eigenvektoren, das charakteristische Polynom, die Kontrollen über Spur und Determinante sowie die Diagonalisierung A = PDP⁻¹, wenn sie existiert. Eigenwerte erscheinen exakt – als Brüche, Wurzeln oder komplexe Zahlen –, wann immer das Polynom es zulässt, und sonst numerisch. Kostenlos, ohne Anmeldung, alles läuft in Ihrem Browser.

Matrixgröße (n × n)

Matrix A

Ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche wie 3/4.

Ergebnisse

Eigenwerte (mit Wiederholung gemäß algebraischer Vielfachheit)

λ1 = 2, λ2 = 5

Spur

Determinante

Exakt

Verfahren

Nein

Symmetrisch?

Diagonalisierbar?

Kontrolle: Die Eigenwerte addieren sich zur Spur 7 und multiplizieren sich zur Determinante 10.

Charakteristisches Polynom

p(λ) = det(λI − A) = λ² − tr(A)·λ + det(A) = λ² − (7)λ + (10) = λ² − 7λ + 10

p(λ) = (λ − 2)(λ − 5)

Satz über rationale Nullstellen: Eine rationale Nullstelle ist ein Teiler des Absolutglieds geteilt durch einen Teiler des Leitkoeffizienten. Gefundene Nullstellen: 2, 5.

Eigenwerte und Eigenvektoren

Jeder Eigenvektor löst (A − λI)v = 0. Jedes vom Nullvektor verschiedene Vielfache davon ist ebenfalls ein Eigenvektor.

λ = 2

algebraische Vielfachheit 1, geometrische Vielfachheit 1

A − λI

2	1
2	1

Eigenvektor

−2

λ = 5

algebraische Vielfachheit 1, geometrische Vielfachheit 1

A − λI

−1	1
2	−2

Eigenvektor

Diagonalisierung

Die Eigenvektoren bilden die Spalten von P, und es gilt A = P D P⁻¹, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist.

P =

1	1
−2	1

D =

2	0
0	5

So verwenden Sie den Eigenwert-Rechner

1. Wählen Sie die Größe. Wählen Sie n von 2 bis 6 und füllen Sie die n × n-Matrix aus. Brüche wie 3/4 und Dezimalzahlen werden exakt gelesen.
2. Lesen Sie die Eigenwerte ab. Sie sind mit Wiederholungen entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit aufgeführt. Daneben stehen Spur und Determinante als schnelle Kontrolle: Die Eigenwerte addieren sich zur Spur und multiplizieren sich zur Determinante.
3. Folgen Sie dem charakteristischen Polynom. Der Rechner schreibt p(λ) = det(λI − A), klammert seine rationalen Nullstellen aus und löst den Rest mit der Mitternachtsformel.
4. Prüfen Sie die Eigenvektoren. Für jeden Eigenwert sehen Sie A − λI und eine Basis seines Eigenraums, dazu P und D, wenn A über den rationalen Zahlen diagonalisierbar ist.

Was Eigenwerte und Eigenvektoren sind

Ein Eigenvektor einer quadratischen Matrix A ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor v, den A nur streckt, nie dreht: Av = λv. Der Skalar λ ist der Eigenwert. Umgeformt hat (A − λI)v = 0 nur dann eine nicht-triviale Lösung, wenn A − λI singulär ist, also genau dann, wenn det(A − λI) = 0 gilt. Diese Gleichung ist die charakteristische Gleichung, und das Polynom darin ist das charakteristische Polynom. Dieser Rechner verwendet die normierte Form det(λI − A), die sich von det(A − λI) nur um den Faktor (−1)ⁿ unterscheidet und dieselben Nullstellen hat.

Begriff	Bedeutung
Algebraische Vielfachheit	Wie oft λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist
Geometrische Vielfachheit	Die Dimension des Eigenraums: wie viele unabhängige Eigenvektoren λ hat
Diagonalisierbar	A hat n unabhängige Eigenvektoren, sodass A = PDP⁻¹ gilt; dafür muss für jeden Eigenwert die geometrische gleich der algebraischen Vielfachheit sein
Defektiv	Ein Eigenwert hat eine geometrische Vielfachheit unterhalb seiner algebraischen Vielfachheit

Die geometrische Vielfachheit ist nie größer als die algebraische. Reelle symmetrische Matrizen sind stets diagonalisierbar und haben reelle Eigenwerte.

Exakte Antworten und numerische Antworten

Das charakteristische Polynom wird exakt berechnet, es enthält also keine Rundung. Rationale Nullstellen findet der Rechner mit dem Satz über rationale Nullstellen und spaltet sie ab. Bleibt ein quadratischer Faktor übrig, liefert die Mitternachtsformel beide restlichen Eigenwerte in geschlossener Form, auch komplexe, und die Eigenvektoren werden im selben Zahlenbereich exakt gelöst. Das deckt jede 2 × 2-Matrix ab, jede 3 × 3-Matrix, deren charakteristisches Polynom eine rationale Nullstelle hat, und größere Matrizen, die sich in rationale Nullstellen plus einen quadratischen Faktor zerlegen.

Lässt sich das Polynom so nicht zerlegen – ein irreduzibles Polynom dritten Grades oder ein Polynom vierten Grades mit irrationalen Nullstellen –, wechselt der Rechner zum QR-Algorithmus in doppelter Genauigkeit. Er reduziert die Matrix auf Hessenberg-Form, führt verschobene QR-Schritte aus, bis die Subdiagonale verschwindet, und findet die Eigenvektoren durch inverse Iteration. Erwarten Sie bei einer gut konditionierten Matrix etwa zehn richtige Stellen. Ein Eigenwert, dessen Imaginärteil unter 10⁻⁹ seines Betrags liegt, wird als reell dargestellt, und die Seite nennt das verwendete Verfahren.

Rechenbeispiele

A = [4 1; 2 3]. Die Spur ist 7 und die Determinante 10, also p(λ) = λ² − 7λ + 10 = (λ − 2)(λ − 5). Für λ = 2 ist der Eigenvektor (1, −2), für λ = 5 ist er (1, 1). Dann haben P die Spalten (1, −2) und (1, 1), D = diag(2, 5), und es gilt A = PDP⁻¹.

A = [1 1; 1 0] (die Fibonacci-Matrix). Hier hat p(λ) = λ² − λ − 1 die Diskriminante 5 und keine rationalen Nullstellen. Die Eigenwerte sind daher (1 + √5)/2 ≈ 1,618034 – der Goldene Schnitt – und (1 − √5)/2 ≈ −0,618034, mit dem Eigenvektor ((1 + √5)/2, 1) für den ersten.

A = [0 −1; 1 0], eine Drehung um 90°, hat p(λ) = λ² + 1, also sind die Eigenwerte i und −i: Kein reeller Vektor behält seine Richtung. Die zyklische Permutationsmatrix mit den Zeilen (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 0) hat p(λ) = λ³ − 1 = (λ − 1)(λ² + λ + 1), also sind ihre Eigenwerte 1 und die komplexen dritten Einheitswurzeln (−1 ± i√3)/2. A = [2 1; 0 2] hat λ = 2 mit algebraischer Vielfachheit 2, aber nur eine Eigenrichtung. Die Matrix ist daher defektiv und nicht diagonalisierbar.

Die tridiagonale 4 × 4-Matrix mit 2 auf der Diagonale und −1 daneben hat ein irrationales Spektrum und wird daher numerisch berechnet. Ihre Eigenwerte sind 0,381966; 1,381966; 2,618034 und 3,618034, was 2 − 2cos(kπ/5) für k = 1 bis 4 entspricht.

Häufig gestellte Fragen

Wie findet man die Eigenwerte einer 2×2-Matrix?: Berechnen Sie Spur und Determinante, schreiben Sie λ² − (Spur)λ + (Determinante) = 0 und lösen Sie die Gleichung. Für [4 1; 2 3] lautet sie λ² − 7λ + 10 = 0, also λ = 2 und λ = 5. Ist die Diskriminante negativ, sind die Eigenwerte komplex konjugiert.
Wie findet man die Eigenvektoren, wenn man die Eigenwerte kennt?: Für jeden Eigenwert λ lösen Sie (A − λI)v = 0, meist durch Zeilenreduktion. Die Lösungen bilden den Eigenraum; jeder vom Nullvektor verschiedene Vektor darin ist ein Eigenvektor. Eigenvektoren sind deshalb nur bis auf ein skalares Vielfaches bestimmt.
Kann eine reelle Matrix komplexe Eigenwerte haben?: Ja. Komplexe Eigenwerte einer reellen Matrix treten in konjugierten Paaren auf. Eine Drehung der Ebene um einen anderen Winkel als 0° oder 180° hat keinen reellen Eigenvektor, daher sind ihre Eigenwerte komplex.
Was bedeutet es, wenn ein Eigenwert 0 ist?: Die Matrix ist singulär: det A = 0, denn die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte, und die Eigenvektoren zu 0 sind die vom Nullvektor verschiedenen Lösungen von Ax = 0. Die Vielfachheit der 0 zeigt, wie stark die Matrix den Raum verkleinert.
Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?: Wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat. Verschiedene Eigenwerte garantieren das, ebenso eine reelle symmetrische Matrix. Ein mehrfacher Eigenwert kann es verhindern, wenn sein Eigenraum zu klein ist, wie bei [2 1; 0 2].
Warum sind manche Eigenwerte als Dezimalzahlen angegeben?: Für 5 × 5- und 6 × 6-Matrizen sowie für kubische Polynome ohne rationale Nullstelle gibt es keine Wurzelformel, die dieser Rechner anwendet. Daher verwendet er den QR-Algorithmus. Diese Werte sind auf etwa zehn Stellen genau; das daneben gezeigte charakteristische Polynom ist dennoch exakt.