Rechner für geometrische Transformationen

Ergebnisse

Bildpunkte

Transformationsmatrix

Jeder Schritt ist eine 3 × 3-Matrix, die auf (x, y, 1) wirkt. Die Matrizen werden von rechts nach links multipliziert, sodass der erste Schritt der rechteste Faktor ist.

Vorher und nachher

Blau ist das Original, Orange das endgültige Bild, gepunktete Umrisse zeigen die Figur nach jedem früheren Schritt, und Grün markiert eine Spiegelachse oder ein Zentrum.

So verwenden Sie den Rechner für geometrische Transformationen

1. 1. Geben Sie die Punkte ein. Tippen Sie pro Zeile ein Wertepaar x, y, bis zu zwölf. Drei oder mehr Punkte werden als Polygon in der angegebenen Reihenfolge gezeichnet.
2. 2. Wählen Sie eine Transformation. Jeder Schritt ist eine Verschiebung, Spiegelung, Drehung oder Streckung mit eigenen Einstellungen: der Verschiebung, der Spiegelachse, dem Winkel und Zentrum oder dem Streckfaktor und Zentrum.
3. 3. Verketten Sie bei Bedarf Schritte. Fügen Sie bis zu vier Schritte hinzu; sie werden in der angezeigten Reihenfolge angewendet. Die gepunkteten Umrisse in der Darstellung zeigen die Figur nach jedem früheren Schritt.
4. 4. Lesen Sie die Bilder, die Matrizen und die Darstellung. Die Tabelle listet jeden Punkt und sein Bild auf; die Matrizen zeigen die Transformation als Zahlen; und die Darstellung legt das Original über das Ergebnis.

Die vier starren und ähnlichen Transformationen

Transformationsmatrizen

Verschiebungen sind nicht linear, daher kann eine 2 × 2-Matrix sie nicht beschreiben. Der Trick sind homogene Koordinaten: Schreiben Sie den Punkt als (x, y, 1) und verwenden Sie 3 × 3-Matrizen. Eine Verschiebung um (a, b) wird zur Matrix mit den Zeilen (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1); eine Drehung um θ wird zu (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1); eine Streckung mit k ist (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Da jeder Schritt eine Matrix ist, ist eine ganze Folge eine einzige Matrix: das Produkt der Schrittmatrizen, wobei der erste Schritt der rechteste Faktor ist. Eine Drehung um ein Zentrum (c, d) ist T(c, d) · R · T(−c, −d).

Die Determinante des 2 × 2-Teils der Matrix zeigt, wie sich Flächen ändern und ob die Figur gespiegelt ist. Eine Determinante von 1 erhält Fläche und Orientierung (Verschiebungen und Drehungen); −1 erhält die Fläche, kehrt aber die Orientierung um (eine einzelne Spiegelung); und k² skaliert Flächen mit dem Quadrat des Streckfaktors. Der Rechner gibt diese Determinante zusammen mit dem Faktor aus, mit dem Abstände multipliziert werden.

Beispiele

Beginnen Sie mit dem Dreieck A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), dessen Fläche 3 beträgt.

• Drehung um 90° gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung. (x, y) wird zu (−y, x), also A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). Die Matrix ist (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), mit Determinante 1.
• Spiegelung an der y-Achse. (x, y) wird zu (−x, y): A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). Die Determinante ist −1, die Orientierung wird also umgekehrt.
• Verschiebung um (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Streckung mit k = 2 um den Ursprung. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Die Längen verdoppeln sich, und die Fläche wächst von 3 auf 12 = 3 × 2².
• Drehung um 45° um den Ursprung. Der Punkt (1, 0) geht in (√2/2, √2/2) über, exakt angegeben.
• Die Reihenfolge zählt. Nehmen Sie den Punkt (1, 0). Drehen um 90° und dann verschieben um (1, 0): (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Erst verschieben und dann drehen: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Spiegelung an anderen Geraden

Für die Gerade y = mx + b verwendet der Rechner die Spiegelungsmatrix an y = mx, also (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) geteilt durch 1 + m², eingebettet in Verschiebungen um b. Alle Einträge sind rational, das Ergebnis ist daher exakt. Eine senkrechte Gerade x = c bildet x auf 2c − x ab. Zum Beispiel ergibt die Spiegelung des Ursprungs an y = x + 2 den Punkt (−2, 2), weil die Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen beiden Punkten ist.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine geometrische Transformation?

Eine Vorschrift, die jeden Punkt der Ebene an eine neue Position bringt. Verschiebungen gleiten, Spiegelungen klappen an einer Geraden um, Drehungen drehen um ein Zentrum und Streckungen verändern die Größe um ein Zentrum. Die ersten drei sind starre Bewegungen, die Abstände unverändert lassen; eine Streckung behält die Form, ändert aber die Größe.

Wie dreht man einen Punkt um 90 Grad um den Ursprung?

Gegen den Uhrzeigersinn wird (x, y) zu (−y, x); im Uhrzeigersinn wird er zu (y, −x). Für (3, 2) ergibt das gegen den Uhrzeigersinn (−2, 3) und im Uhrzeigersinn (2, −3). Eine Drehung um 180° sendet (x, y) zu (−x, −y).

Wie dreht man um einen anderen Punkt als den Ursprung?

Subtrahieren Sie den Mittelpunkt vom Punkt, drehen Sie das Ergebnis um den Ursprung und addieren Sie den Mittelpunkt wieder hinzu. Der Rechner erledigt dies über die Matrix T(c) · R · T(−c), ebenso für Streckungen um ein gewähltes Zentrum.

Was geschieht mit der Fläche bei einer Streckung?

Längen werden mit |k| multipliziert und Flächen mit k². Ein Streckfaktor von 3 macht die Figur dreimal so breit und neunmal so groß in der Fläche. Ein negatives k spiegelt die Figur außerdem am Zentrum, was dasselbe ist wie eine Streckung mit |k| gefolgt von einer Drehung um 180°.

Spielt die Reihenfolge der Transformationen eine Rolle?

In der Regel ja. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, daher unterscheidet sich eine Drehung gefolgt von einer Verschiebung von der Verschiebung gefolgt von der Drehung, wie im Beispiel oben. Zwei Drehungen um dasselbe Zentrum oder zwei Verschiebungen sind dagegen vertauschbar.

Wie spiegle ich an der Geraden y = x?

Vertauschen Sie die Koordinaten: (x, y) wird zu (y, x). Eine Spiegelung an y = −x sendet (x, y) zu (−y, −x). Für jede andere Gerade y = mx + b wählen Sie diese Option im Spiegelungsschritt und geben m und b ein.