Kalkulator Transformasi Geometri

Hasil

Bayangan titik-titik

Matriks transformasi

Setiap langkah adalah matriks 3 × 3 yang bekerja pada (x, y, 1). Matriks dikalikan dari kanan ke kiri, sehingga langkah pertama adalah faktor paling kanan.

Sebelum dan sesudah

Biru adalah asal, oranye adalah bayangan akhir, garis putus-putus adalah bentuk setelah setiap langkah sebelumnya, dan hijau menandai garis refleksi atau pusat.

Cara Menggunakan Kalkulator Transformasi Geometri

1. 1. Masukkan titiknya. Ketik satu pasangan x, y per baris, hingga dua belas. Tiga titik atau lebih digambar sebagai poligon sesuai urutan yang Anda tulis.
2. 2. Pilih transformasi. Setiap langkah adalah translasi, refleksi, rotasi, atau dilatasi, dengan pengaturannya sendiri: besar geseran, garis cermin, sudut dan pusat, atau faktor skala dan pusat.
3. 3. Rangkai langkah jika perlu. Tambahkan hingga empat langkah; langkah diterapkan sesuai urutan yang ditampilkan. Garis putus-putus pada plot menunjukkan bentuk setelah setiap langkah sebelumnya.
4. 4. Baca bayangan, matriks, dan plotnya. Tabel memuat setiap titik dan bayangannya; matriks menunjukkan transformasi dalam bentuk angka; dan plot menumpangkan bentuk asal di atas hasilnya.

Empat Transformasi Kaku dan Kesebangunan

Matriks Transformasi

Translasi tidak linear, sehingga matriks 2 × 2 tidak dapat menggambarkannya. Triknya adalah koordinat homogen: tulis titik sebagai (x, y, 1) dan gunakan matriks 3 × 3. Translasi sebesar (a, b) menjadi matriks dengan baris (1, 0, a), (0, 1, b), (0, 0, 1); rotasi sebesar θ menjadi (cos θ, −sin θ, 0), (sin θ, cos θ, 0), (0, 0, 1); dilatasi dengan faktor k adalah (k, 0, 0), (0, k, 0), (0, 0, 1). Karena setiap langkah berbentuk matriks, seluruh urutan menjadi satu matriks: hasil kali matriks setiap langkah, dengan langkah pertama sebagai faktor paling kanan. Rotasi terhadap pusat (c, d) adalah T(c, d) · R · T(−c, −d).

Determinan dari bagian 2 × 2 matriks menunjukkan bagaimana luas berubah dan apakah bentuk tersebut dicerminkan. Determinan 1 mempertahankan luas dan orientasi (translasi dan rotasi); −1 mempertahankan luas tetapi membalik orientasi (satu refleksi); dan k² mengubah luas dengan kuadrat faktor skala. Kalkulator melaporkan determinan tersebut bersama faktor yang mengalikan jarak.

Contoh Kasus

Mulai dengan segitiga A(1, 1), B(4, 1), C(1, 3), yang luasnya 3.

• Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. (x, y) menjadi (−y, x), sehingga A′(−1, 1), B′(−1, 4), C′(−3, 1). Matriksnya (0, −1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1), dengan determinan 1.
• Refleksi terhadap sumbu y. (x, y) menjadi (−x, y): A′(−1, 1), B′(−4, 1), C′(−1, 3). Determinannya −1, sehingga orientasinya terbalik.
• Translasi sebesar (3, −2). A′(4, −1), B′(7, −1), C′(4, 1).
• Dilatasi dengan k = 2 terhadap titik asal. A′(2, 2), B′(8, 2), C′(2, 6). Panjang menjadi dua kali lipat, dan luas berubah dari 3 menjadi 12 = 3 × 2².
• Rotasi 45° terhadap titik asal. Titik (1, 0) menjadi (√2/2, √2/2), dibiarkan dalam bentuk eksak.
• Urutan itu penting. Ambil titik (1, 0). Rotasi 90° lalu translasi sebesar (1, 0): (1, 0) → (0, 1) → (1, 1). Translasi lebih dulu lalu rotasi: (1, 0) → (2, 0) → (0, 2).

Mencerminkan terhadap Garis Lain

Untuk garis y = mx + b, kalkulator menggunakan matriks refleksi terhadap y = mx, yaitu (1 − m², 2m; 2m, m² − 1) dibagi 1 + m², yang dibungkus dengan translasi sebesar b. Semua entrinya rasional, sehingga hasilnya eksak. Garis vertikal x = c mengirim x ke 2c − x. Misalnya, mencerminkan titik asal terhadap y = x + 2 menghasilkan (−2, 2), karena garis itu adalah garis bagi tegak lurus dari ruas garis yang menghubungkan keduanya.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu transformasi geometri?

Aturan yang memindahkan setiap titik pada bidang ke posisi baru. Translasi menggeser, refleksi membalik terhadap sebuah garis, rotasi memutar terhadap sebuah pusat, dan dilatasi mengubah ukuran terhadap sebuah pusat. Tiga yang pertama adalah gerak kaku yang menjaga jarak tetap; dilatasi menjaga bentuk tetapi mengubah ukuran.

Bagaimana cara memutar titik 90 derajat terhadap titik asal?

Berlawanan arah jarum jam, (x, y) menjadi (−y, x); searah jarum jam, menjadi (y, −x). Untuk (3, 2) hasilnya (−2, 3) berlawanan arah jarum jam dan (2, −3) searah jarum jam. Rotasi 180° mengirim (x, y) ke (−x, −y).

Bagaimana cara memutar terhadap titik selain titik asal?

Kurangi pusat dari titik tersebut, putar hasilnya terhadap titik asal, lalu tambahkan kembali pusatnya. Kalkulator melakukannya untuk Anda melalui matriks T(c) · R · T(−c), dan juga untuk dilatasi terhadap pusat yang Anda pilih.

Apa yang terjadi pada luas dalam dilatasi?

Panjang dikali |k| dan luas dikali k². Faktor skala 3 membuat bentuk tiga kali lebih lebar dan luasnya sembilan kali. Nilai k negatif juga membalik bentuk melalui pusat, yang sama dengan dilatasi sebesar |k| diikuti rotasi 180°.

Apakah urutan transformasi berpengaruh?

Biasanya ya. Perkalian matriks tidak komutatif, sehingga rotasi lalu translasi berbeda dengan translasi lalu rotasi, seperti pada contoh di atas. Dua rotasi terhadap pusat yang sama, atau dua translasi, bersifat komutatif.

Bagaimana cara mencerminkan terhadap garis y = x?

Tukar koordinatnya: (x, y) menjadi (y, x). Refleksi terhadap y = −x mengirim (x, y) ke (−y, −x). Untuk garis y = mx + b yang lain, pilih opsi itu pada langkah refleksi dan masukkan m dan b.