Kalkulator Metode Euler
Masukkan dy/dx = f(x, y), sebuah titik awal, dan nilai akhir, lalu dapatkan solusi pendekatan dengan metode Euler, metode Euler yang diperbaiki (Heun), atau Runge–Kutta orde empat. Anda mendapat tabel langkah lengkap dengan setiap kemiringan, galat terhadap solusi eksak (atau referensi yang sangat akurat), apa yang terjadi saat langkah dibagi dua, dan grafik medan kemiringan dengan solusi digambar di atasnya. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
Gunakan x untuk variabel bebas dan y untuk yang tidak diketahui, dengan + − * / ^ dan tanda kurung: x + y, x*y, y*(1 − y), sin(x) − y. Fungsi: sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, dan lainnya.
Jika Anda mengetahui solusi eksaknya, masukkan dalam x untuk melihat galat yang sebenarnya; jika tidak, digunakan referensi RK4 yang sangat akurat.
Hasil
3,1874849
Pendekatan y(1)
3,4365637
Eksak y(1)
-0,249
Galat
0,1
Ukuran langkah h
10
Langkah n
Metodenya
yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ): ikuti kemiringan di awal setiap langkah. Galat global sebanding dengan h.
Tabel langkah
| n | xₙ | yₙ | k1 | Eksak y(xₙ) | Galat |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,2 | 1,1103418 | -0,0103 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,42 | 1,2428055 | -0,0228 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,662 | 1,3997176 | -0,0377 |
| 4 | 0,4 | 1,5282 | 1,9282 | 1,5836494 | -0,0554 |
| 5 | 0,5 | 1,72102 | 2,22102 | 1,7974425 | -0,0764 |
| 6 | 0,6 | 1,943122 | 2,543122 | 2,0442376 | -0,101 |
| 7 | 0,7 | 2,1974342 | 2,8974342 | 2,3275054 | -0,13 |
| 8 | 0,8 | 2,4871776 | 3,2871776 | 2,6510819 | -0,164 |
| 9 | 0,9 | 2,8158954 | 3,7158954 | 3,0192062 | -0,203 |
| 10 | 1 | 3,1874849 | 3,4365637 | -0,249 |
Ketiga metode dengan langkah yang sama
| Metode | y di titik akhir | Galat |
|---|---|---|
| Metode Euler | 3,1874849 | -0,249 |
| Euler yang diperbaiki (Heun) | 3,4281617 | -0,0084 |
| Runge–Kutta 4 | 3,4365595 | -0,00000417 |
Membagi dua langkah (Metode Euler)
| n | h | y di titik akhir | Galat |
|---|---|---|---|
| 10 | 0,1 | 3,1874849 | -0,249 |
| 20 | 0,05 | 3,3065954 | -0,13 |
| 40 | 0,025 | 3,3701277 | -0,0664 |
| 80 | 0,0125 | 3,4029699 | -0,0336 |
Untuk metode Euler, galat kira-kira berkurang separuh saat h dibagi dua; untuk Heun menjadi seperempat; untuk RK4 menjadi seperenam belas.
Grafik
- Solusi eksak
- Metode Euler
Cara Menggunakan Kalkulator Metode Euler
- 1. Masukkan persamaannya. Tulis ruas kanan dari dy/dx = f(x, y) dengan x dan y:
x + y,y*(1 - y),sin(x) - y. - 2. Masukkan kondisi awal dan akhir. Masukkan x₀, y₀ = y(x₀), dan nilai x yang ingin dihitung. Titik akhir boleh berada di sebelah kiri x₀.
- 3. Pilih langkahnya. Masukkan ukuran langkah h, atau beralih ke jumlah langkah n. Jika h tidak membagi interval secara merata, kalkulator menyesuaikannya dan memberi tahu Anda.
- 4. Pilih metode dan baca tabelnya. Setiap baris mencantumkan xₙ, yₙ, dan kemiringan yang dipakai. Jika Anda mengetahui solusi eksaknya, ketikkan untuk melihat galat yang sebenarnya.
Tiga Metode
| Metode | Langkah | Galat global |
|---|---|---|
| Euler | yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ) | sebanding dengan h |
| Euler yang diperbaiki (Heun) | yₙ₊₁ = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), dengan k₁ = f(xₙ, yₙ) dan k₂ = f(xₙ + h, yₙ + h·k₁) | sebanding dengan h² |
| Runge–Kutta 4 | yₙ₊₁ = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) | sebanding dengan h⁴ |
Metode Euler mengikuti garis singgung di awal setiap langkah. Metode Heun merata-ratakan kemiringan di awal dengan kemiringan di titik akhir yang diprediksi, itulah sebabnya disebut juga aturan trapesium eksplisit. Runge–Kutta 4 mengambil sampel kemiringan empat kali per langkah dan memberinya bobot 1, 2, 2, 1. Metode-metode ini berasal dari Burden and Faires, Numerical Analysis, bab 5.
Contoh Kasus: y′ = x + y, y(0) = 1
Solusi eksaknya adalah y = 2eˣ − x − 1, sehingga y(1) = 2e − 2 ≈ 3,4365637. Dengan metode Euler dan h = 0,1, langkah-langkah pertamanya adalah:
| n | xₙ | yₙ | kemiringan f(xₙ, yₙ) | y(xₙ) eksak |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,2 | 1,1103418 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,42 | 1,2428055 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,662 | 1,3997176 |
Misalnya, y₁ = 1 + 0,1 × (0 + 1) = 1,1 dan y₂ = 1,1 + 0,1 × (0,1 + 1,1) = 1,22. Setelah sepuluh langkah, metode Euler mencapai y(1) ≈ 3,1874849, dengan galat −0,2491: hasilnya terlalu kecil karena solusi sebenarnya cekung ke atas, sehingga garis singgung berada di bawahnya.
| Langkah n (h) | Galat Euler di x = 1 | Galat Heun | Galat RK4 |
|---|---|---|---|
| 10 (0,1) | −0,2491 | −0,0084 | −0,0000042 |
| 20 (0,05) | −0,1300 | −0,0022 | −0,00000027 |
| 40 (0,025) | −0,0664 | −0,00056 | −0,000000017 |
| 80 (0,0125) | −0,0336 | −0,00014 | −0,0000000011 |
Setiap kali h dibagi dua, galat Euler berkurang kira-kira separuhnya, galat Heun menjadi seperempat, dan galat RK4 menjadi seperenam belas, sesuai dengan tabel orde metode. Untuk menyamai galat RK4 pada n = 10, metode Euler memerlukan ratusan ribu langkah.
Membaca Medan Kemiringan dan Galat
Segmen-segmen pendek pada grafik menunjukkan kemiringan f(x, y) pada sekumpulan titik: kurva solusi sebenarnya menyinggung segmen-segmen itu di setiap tempat. Solusi numerik digambar sebagai poligonal di atasnya; jika Anda memasukkan solusi eksaknya, solusi itu digambar putus-putus di sampingnya. Tanpa solusi eksak, kolom galat membandingkan dengan nilai referensi dari RK4 yang memakai minimal 2.000 langkah, yang jauh lebih akurat daripada metode mana pun yang bisa Anda pilih di sini. Beberapa persamaan meledak dalam waktu berhingga, seperti y′ = y² dari y(0) = 1 pada x = 1; tabel berhenti di titik ketika nilainya menjadi tak hingga.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Bagaimana cara kerja metode Euler?
- Metode ini membangun solusi langkah demi langkah. Dari titik (xₙ, yₙ), ia menghitung kemiringan f(xₙ, yₙ) dari persamaan diferensial, lalu bergerak sepanjang garis singgung itu sejauh jarak mendatar h, sehingga yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Setiap titik baru menjadi titik awal untuk langkah berikutnya.
- Seberapa akurat metode Euler?
- Galat lokal per langkahnya sebanding dengan h², tetapi galat itu terakumulasi selama sekitar 1/h langkah, sehingga galat global sebanding dengan h. Membagi langkah menjadi dua akan membagi galat menjadi dua. Metode ini baik untuk belajar dan kurang baik untuk ketelitian.
- Apa itu metode Euler yang diperbaiki?
- Metode Euler yang diperbaiki, atau metode Heun, pertama-tama mengambil satu langkah Euler untuk memprediksi titik akhir interval, lalu merata-ratakan kemiringan di titik itu dengan kemiringan di awal. Koreksi orde kedua ini membuat galat global sebanding dengan h² alih-alih h, dengan biaya dua evaluasi kemiringan per langkah.
- Bagaimana cara memilih ukuran langkah?
- Gunakan tabel pembagian dua: kecilkan h sampai jawabannya tidak berubah pada digit yang Anda perlukan. Metode Euler membutuhkan h yang kecil, tetapi RK4 mencapai ketelitian yang sama dengan h yang jauh lebih besar. Persamaan kaku (yang memiliki komponen meluruh dengan cepat) dapat memaksa h kecil pada metode mana pun.
- Bisakah menyelesaikan persamaan orde dua atau sistem persamaan?
- Tidak. Kalkulator ini hanya menyelesaikan satu persamaan orde pertama dy/dx = f(x, y). Persamaan orde dua dapat ditulis ulang sebagai sistem orde pertama, tetapi alat ini tidak menangani sistem.
- Mengapa solusi berhenti di tengah jalan?
- Nilainya menjadi tak hingga, yang terjadi ketika solusi sebenarnya meledak dalam waktu berhingga atau ketika langkahnya terlalu besar untuk persamaan yang tidak stabil. Tabel berakhir pada baris berhingga terakhir, dan pesan memberikan nilai x tempat hal itu terjadi.