Calculadora del método de Euler
Introduce dy/dx = f(x, y), un punto inicial y un valor final, y obtén la solución aproximada con el método de Euler, el método de Euler mejorado (Heun) o Runge–Kutta de cuarto orden. Incluye la tabla de pasos completa con cada pendiente, el error frente a la solución exacta (o frente a una referencia muy precisa), lo que ocurre al reducir el paso a la mitad y un gráfico del campo de pendientes con la solución dibujada encima. Gratis, sin registro.
Usa x para la variable independiente e y para la incógnita, con + − * / ^ y paréntesis: x + y, x*y, y*(1 − y), sin(x) − y. Funciones: sin, cos, tan, exp, ln, sqrt y más.
Si conoces la solución exacta, escríbela en x para ver el error real; si no, se usa una referencia RK4 muy precisa.
Resultados
3,1874849
Aproximación de y(1)
3,4365637
y(1) exacta
-0,249
Error
0,1
Tamaño de paso h
10
Pasos n
El método
yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ): sigue la pendiente al inicio de cada paso. El error global es proporcional a h.
Tabla de pasos
| n | xₙ | yₙ | k1 | y(xₙ) exacta | Error |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,2 | 1,1103418 | -0,0103 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,42 | 1,2428055 | -0,0228 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,662 | 1,3997176 | -0,0377 |
| 4 | 0,4 | 1,5282 | 1,9282 | 1,5836494 | -0,0554 |
| 5 | 0,5 | 1,72102 | 2,22102 | 1,7974425 | -0,0764 |
| 6 | 0,6 | 1,943122 | 2,543122 | 2,0442376 | -0,101 |
| 7 | 0,7 | 2,1974342 | 2,8974342 | 2,3275054 | -0,13 |
| 8 | 0,8 | 2,4871776 | 3,2871776 | 2,6510819 | -0,164 |
| 9 | 0,9 | 2,8158954 | 3,7158954 | 3,0192062 | -0,203 |
| 10 | 1 | 3,1874849 | 3,4365637 | -0,249 |
Los tres métodos con el mismo paso
| Método | y al final | Error |
|---|---|---|
| Euler | 3,1874849 | -0,249 |
| Euler mejorado (Heun) | 3,4281617 | -0,0084 |
| Runge–Kutta 4 | 3,4365595 | -0,00000417 |
Reducir el paso a la mitad (Euler)
| n | h | y al final | Error |
|---|---|---|---|
| 10 | 0,1 | 3,1874849 | -0,249 |
| 20 | 0,05 | 3,3065954 | -0,13 |
| 40 | 0,025 | 3,3701277 | -0,0664 |
| 80 | 0,0125 | 3,4029699 | -0,0336 |
En el método de Euler el error se reduce aproximadamente a la mitad cuando h se reduce a la mitad; en el de Heun baja a una cuarta parte; en RK4, a una dieciseisava parte.
Gráfico
- Solución exacta
- Euler
Cómo usar la calculadora del método de Euler
- 1. Introduce la ecuación. Escribe el lado derecho de dy/dx = f(x, y) usando x e y:
x + y,y*(1 - y),sin(x) - y. - 2. Indica la condición inicial y el final. Introduce x₀, y₀ = y(x₀) y el valor de x hasta el que quieres resolver. El final puede estar a la izquierda de x₀.
- 3. Elige el paso. Introduce un tamaño de paso h o cambia a un número de pasos n. Si h no divide el intervalo de forma exacta, la calculadora lo ajusta y te lo indica.
- 4. Elige un método y lee la tabla. Cada fila muestra xₙ, yₙ y las pendientes usadas. Si conoces la solución exacta, escríbela para ver el error real.
Los tres métodos
| Método | Paso | Error global |
|---|---|---|
| Euler | yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ) | proporcional a h |
| Euler mejorado (Heun) | yₙ₊₁ = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), con k₁ = f(xₙ, yₙ) y k₂ = f(xₙ + h, yₙ + h·k₁) | proporcional a h² |
| Runge–Kutta 4 | yₙ₊₁ = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄) | proporcional a h⁴ |
El método de Euler sigue la recta tangente al inicio de cada paso. El método de Heun promedia la pendiente del inicio con la pendiente en el extremo predicho, por eso también se llama regla del trapecio explícita. Runge–Kutta 4 muestrea la pendiente cuatro veces por paso y les da pesos 1, 2, 2 y 1. Estos son los métodos de Burden y Faires, Numerical Analysis, capítulo 5.
Ejemplo desarrollado: y′ = x + y, y(0) = 1
La solución exacta es y = 2eˣ − x − 1, así que y(1) = 2e − 2 ≈ 3,4365637. Con el método de Euler y h = 0,1, los primeros pasos son:
| n | xₙ | yₙ | pendiente f(xₙ, yₙ) | y(xₙ) exacta |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0,1 | 1,1 | 1,2 | 1,1103418 |
| 2 | 0,2 | 1,22 | 1,42 | 1,2428055 |
| 3 | 0,3 | 1,362 | 1,662 | 1,3997176 |
Por ejemplo, y₁ = 1 + 0,1 × (0 + 1) = 1,1 e y₂ = 1,1 + 0,1 × (0,1 + 1,1) = 1,22. Tras diez pasos, el método de Euler llega a y(1) ≈ 3,1874849, con un error de −0,2491: subestima porque la solución verdadera es convexa y las rectas tangentes quedan por debajo de ella.
| Pasos n (h) | Error de Euler en x = 1 | Error de Heun | Error de RK4 |
|---|---|---|---|
| 10 (0,1) | −0,2491 | −0,0084 | −0,0000042 |
| 20 (0,05) | −0,1300 | −0,0022 | −0,00000027 |
| 40 (0,025) | −0,0664 | −0,00056 | −0,000000017 |
| 80 (0,0125) | −0,0336 | −0,00014 | −0,0000000011 |
Cada vez que se reduce h a la mitad, el error de Euler se reduce aproximadamente a la mitad, el de Heun a una cuarta parte y el de RK4 a una dieciseisava parte, tal como predice la tabla de órdenes. Para igualar el error de RK4 con n = 10, el método de Euler necesitaría cientos de miles de pasos.
Cómo leer el campo de pendientes y el error
Los segmentos cortos del gráfico muestran la pendiente f(x, y) en una cuadrícula de puntos: la solución verdadera es una curva tangente a los segmentos en todas partes. La solución numérica se dibuja como una poligonal encima; si indicas la solución exacta, aparece al lado con trazo discontinuo. Sin solución exacta, la columna de error compara con un valor de referencia de RK4 con al menos 2.000 pasos, mucho más preciso que cualquier método que elijas aquí. Algunas ecuaciones se disparan en un tiempo finito, como y′ = y² con y(0) = 1 en x = 1; la tabla se detiene donde los valores se vuelven infinitos.
Preguntas frecuentes
- ¿Cómo funciona el método de Euler?
- Construye la solución paso a paso. Desde el punto (xₙ, yₙ) calcula la pendiente f(xₙ, yₙ) a partir de la ecuación diferencial y avanza a lo largo de esa recta tangente una distancia horizontal h, con lo que yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Cada nuevo punto es el punto de partida del paso siguiente.
- ¿Qué precisión tiene el método de Euler?
- Su error local por paso es proporcional a h², pero los errores se acumulan a lo largo de unos 1/h pasos, así que el error global es proporcional a h. Al reducir el paso a la mitad, el error se reduce a la mitad. Es un buen método para aprender y uno malo para lograr precisión.
- ¿Qué es el método de Euler mejorado?
- El método de Euler mejorado, o método de Heun, primero da un paso de Euler para predecir el final del intervalo y después promedia la pendiente en ese punto con la pendiente del inicio. Esa corrección de segundo orden hace que el error global sea proporcional a h² en lugar de h, a cambio de dos evaluaciones de la pendiente por paso.
- ¿Cómo elijo el tamaño del paso?
- Usa la tabla de mitades: reduce h hasta que la respuesta deje de cambiar en las cifras que te importan. El método de Euler necesita un h pequeño, pero RK4 alcanza la misma precisión con uno mucho mayor. Las ecuaciones rígidas (las que tienen componentes que decaen muy deprisa) pueden exigir un h pequeño con cualquiera de estos métodos.
- ¿Puede resolver ecuaciones de segundo orden o sistemas?
- No. Resuelve una sola ecuación de primer orden dy/dx = f(x, y). Una ecuación de segundo orden puede reescribirse como un sistema de primer orden, pero esta herramienta no trabaja con sistemas.
- ¿Por qué la solución se detiene a mitad de camino?
- Los valores se volvieron infinitos, lo que ocurre cuando la solución verdadera se dispara en un tiempo finito o cuando el paso es demasiado grande para una ecuación inestable. La tabla termina en la última fila finita, y el mensaje indica el valor de x cerca del cual ocurrió.