Calculadora de MCD y mcm
Escribe dos o más números enteros para obtener su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo. La respuesta se calcula de dos maneras, una al lado de la otra: el algoritmo de divisiones de Euclides y el método de factorización prima, para que sigas el que use tu clase. Los números de hasta 40 cifras se procesan con exactitud.
Dos o más, separados por comas o espacios. Los signos se ignoran: ambos se definen sobre valores absolutos.
Resultados
6
Máximo común divisor (MCD)
180
Mínimo común múltiplo (mcm)
3
Números comparados
MCD por el algoritmo de Euclides
Divide el mayor entre el menor, luego el último divisor entre el resto, hasta que el resto sea 0. El último divisor es el MCD.
MCD(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
El resto llegó a 0, así que MCD(12, 18) = 6.
MCD(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
El resto llegó a 0, así que MCD(6, 30) = 6.
Con más de dos números, se combinan de uno en uno: MCD(MCD(12, 18), 30) = MCD(6, 30) = 6.
mcm a partir del MCD
Para dos números, mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b). Con más, se combinan de uno en uno.
mcm(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
mcm(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
El método de factorización prima
Factoriza cada número en primos. El MCD toma cada primo compartido con su menor potencia; el mcm toma cada primo que aparece con su mayor potencia.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| Primo | 12 | 18 | 30 | MCD (menor potencia) | mcm (mayor potencia) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
MCD = 2 × 3 = 6
mcm = 2² × 3² × 5 = 180
Cómo usar la calculadora de MCD y mcm
- 1. Escribe los números. Sepáralos con comas o espacios: 12, 18, 30. Dos números bastan; se aceptan hasta doce. No uses separadores de miles, porque aquí una coma inicia un número nuevo.
- 2. Lee las dos respuestas. El MCD y el mcm aparecen arriba, con una nota cuando el MCD es 1 y los números son primos entre sí.
- 3. Sigue el método que te enseñaron. El algoritmo de Euclides enumera cada división; la tabla de factorización prima muestra la potencia de cada primo en cada número y qué potencia toman el MCD y el mcm.
- 4. Copia el resultado. El botón de copiar da un resumen de una línea, como MCD(12, 18, 30) = 6; mcm(12, 18, 30) = 180.
Dos formas de hallar el MCD y el mcm
Algoritmo de Euclides
El algoritmo de Euclides, del Libro VII de sus Elementos (hacia el 300 a. C.), se apoya en un hecho: el MCD de dos números también divide a su resto. Así que divide el mayor entre el menor, reemplaza el mayor por el resto y repite. Cuando el resto llega a 0, el último divisor es el MCD. Para 48 y 180:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → MCD(48, 180) = 12
Es rápido sea cual sea el tamaño de los números: el número de divisiones nunca supera cinco veces el número de cifras del menor. Por eso es el método que usan las computadoras, y por eso esta calculadora puede trabajar con números de 40 cifras al instante.
Factorización prima
Escribe cada número como producto de primos. El MCD es el producto de los primos que los números comparten, cada uno con su menor potencia; el mcm es el producto de todos los primos que aparecen, cada uno con su mayor potencia. Con 48 = 2⁴ × 3 y 180 = 2² × 3² × 5, el MCD es 2² × 3 = 12 y el mcm es 2⁴ × 3² × 5 = 720. El método hace visible la estructura, pero depende de factorizar, algo que se vuelve lento con números muy grandes.
Para dos números hay además un atajo que enlaza ambas respuestas: mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b). Para 48 y 180, eso es 8.640 ÷ 12 = 720. La calculadora lo usa para construir el mcm a partir del MCD.
Ejemplo desarrollado: 12, 18 y 30
- MCD del primer par. 18 = 1 × 12 + 6, luego 12 = 2 × 6 + 0, así que MCD(12, 18) = 6.
- Añade el tercer número. 30 = 5 × 6 + 0, así que MCD(MCD(12, 18), 30) = MCD(6, 30) = 6.
- mcm, un par cada vez. mcm(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, luego mcm(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- Comprueba con primos. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² y 30 = 2 × 3 × 5. Los primos compartidos con su menor potencia dan 2 × 3 = 6; todos los primos con su mayor potencia dan 2² × 3² × 5 = 180.
Cuándo necesitas el MCD o el mcm
| Problema | Usa | Ejemplo |
|---|---|---|
| Simplificar una fracción | MCD | 18/30: divide ambos entre el MCD 6 para obtener 3/5. |
| Sumar fracciones | mcm | 1/12 + 1/18: el mínimo común denominador es 36. |
| Repartir en grupos iguales | MCD | 12 bolígrafos y 18 lápices forman como máximo 6 kits idénticos. |
| Alinear ciclos que se repiten | mcm | Unos autobuses que salen cada 12 y 18 minutos coinciden de nuevo tras 36 minutos. |
| Factorizar una expresión | MCD | 12x + 18 = 6(2x + 3). |
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre el MCD y el mcm?
- El máximo común divisor es el mayor número que divide a todos los números de la lista, así que nunca es mayor que el menor de ellos. El mínimo común múltiplo es el menor número al que todos los números de la lista dividen, así que nunca es menor que el mayor. Para 12 y 18, el MCD es 6 y el mcm es 36.
- ¿El MCD es lo mismo que el GCF, el GCD o el HCF?
- Sí. El máximo común divisor (MCD) aparece en inglés como greatest common factor (GCF) o greatest common divisor (GCD), y como highest common factor (HCF) en el uso británico habitual. Son tres nombres para el mismo número. El mínimo común múltiplo (mcm) a veces se llama lowest common multiple (LCM).
- ¿Cuál es el MCD de dos números primos?
- Es 1, porque los únicos divisores de un primo son 1 y el propio primo. Dos números cuyo MCD es 1 se llaman primos entre sí, y su mcm es simplemente su producto: mcm(7, 11) = 77. Los números pueden ser primos entre sí sin ser primos, como 8 y 15.
- ¿Cómo se halla el mcm de tres o más números?
- Trabaja un par cada vez: halla el mcm de los dos primeros, luego el mcm de ese resultado y el tercer número, y así sucesivamente. O factoriza cada número en primos y multiplica cada primo con la mayor potencia que alcance en cualquiera de ellos.
- ¿Por qué no puedo escribir 0?
- Todo número entero divide a 0, así que el MCD(0, n) es simplemente n, y el mcm(0, n) es 0 por convención. Ninguno necesita cálculo, y 0 no tiene una factorización prima que mostrar. Quita el 0 y la calculadora compara los demás números.
- ¿MCD × mcm siempre es igual al producto de los números?
- Solo con dos números: MCD(a, b) × mcm(a, b) = a × b. Con tres o más no se cumple: para 2, 4 y 8, el MCD es 2 y el mcm es 8, así que su producto es 16, no 64.