GCF & LCM 계산기
정수를 두 개 이상 입력하면 최대공약수와 최소공배수를 구합니다. 답은 두 가지 방법으로 나란히 풀이됩니다. 유클리드 나눗셈 호제법과 소인수분해 방법이므로, 수업에서 배운 방법을 따라갈 수 있습니다. 최대 40자리 숫자까지 정확하게 계산합니다.
둘 이상을 쉼표 또는 공백으로 구분해 입력하세요. 부호는 무시합니다. 두 수 모두 절댓값을 기준으로 정의됩니다.
결과
6
최대공약수 (GCF)
180
최소공배수 (LCM)
3
비교한 숫자 개수
유클리드 호제법으로 구한 GCF
큰 수를 작은 수로 나누고, 나머지가 0이 될 때까지 나머지로 나눕니다. 나머지가 0이 되었을 때의 마지막 나눗수가 GCF입니다.
GCF(12, 18)
18 = 1 × 12 + 6
12 = 2 × 6 + 0
나머지가 0이 되었으므로 GCF(12, 18) = 6입니다.
GCF(6, 30)
30 = 5 × 6 + 0
나머지가 0이 되었으므로 GCF(6, 30) = 6입니다.
숫자가 셋 이상이면 한 번에 하나씩 합쳐 갑니다: GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6.
GCF로 구한 LCM
두 수라면 LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b)입니다. 셋 이상이면 한 번에 하나씩 합쳐 갑니다.
LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36
LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180
소인수분해 방법
각 숫자를 소수로 인수분해합니다. GCF는 숫자들이 공유하는 각 소수를 가장 낮은 거듭제곱으로 취하고, LCM은 나타나는 각 소수를 가장 높은 거듭제곱으로 취합니다.
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
30 = 2 × 3 × 5
| 소수 | 12 | 18 | 30 | GCF (가장 낮은 거듭제곱) | LCM (가장 높은 거듭제곱) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2² | 2 | 2 | 2 | 2² |
| 3 | 3 | 3² | 3 | 3 | 3² |
| 5 | — | — | 5 | — | 5 |
GCF = 2 × 3 = 6
LCM = 2² × 3² × 5 = 180
GCF & LCM 계산기 사용 방법
- 1. 숫자를 입력하세요. 쉼표나 공백으로 구분합니다: 12, 18, 30. 두 개면 충분하며 최대 열두 개까지 받습니다. 천 단위 구분 기호는 빼세요. 여기서는 쉼표가 새 숫자의 시작으로 읽힙니다.
- 2. 두 결과를 읽으세요. GCF와 LCM이 맨 위에 나타납니다. GCF가 1이어서 숫자들이 서로소이면 그 사실도 알려 줍니다.
- 3. 배운 방법을 따라가세요. 유클리드 호제법은 모든 나눗셈을 보여 주고, 소인수분해 표는 각 수에서 각 소수의 거듭제곱과 GCF, LCM이 취하는 거듭제곱을 보여 줍니다.
- 4. 결과를 복사하세요. 복사 버튼은 GCF(12, 18, 30) = 6; LCM(12, 18, 30) = 180 같은 한 줄 요약을 복사합니다.
GCF와 LCM을 구하는 두 가지 방법
유클리드 호제법
유클리드 호제법은 그의 『원론』 제7권(기원전 300년경)에 나오며, 한 가지 사실에 기대고 있습니다. 두 수의 GCF는 그 나머지도 나눈다는 것입니다. 그래서 큰 수를 작은 수로 나누고, 큰 수를 나머지로 바꾸어 되풀이합니다. 나머지가 0이 되면 마지막 나눗수가 GCF입니다. 48과 180의 경우는 다음과 같습니다:
180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → GCF(48, 180) = 12
숫자의 크기와 상관없이 빠릅니다. 나눗셈 횟수는 두 수 중 작은 수 자릿수의 다섯 배를 넘지 않습니다. 그래서 컴퓨터가 이 방법을 쓰며, 이 계산기가 40자리 숫자도 즉시 처리할 수 있는 이유이기도 합니다.
소인수분해
각 숫자를 소수의 곱으로 씁니다. GCF는 숫자들이 공유하는 소수를 각각 가장 낮은 거듭제곱으로 곱한 것이고, LCM은 나타나는 모든 소수를 각각 가장 높은 거듭제곱으로 곱한 것입니다. 48 = 2⁴ × 3, 180 = 2² × 3² × 5이면 GCF는 2² × 3 = 12, LCM은 2⁴ × 3² × 5 = 720입니다. 이 방법은 구조를 잘 보여 주지만 인수분해에 의존하므로, 아주 큰 수에서는 느려집니다.
두 수일 때는 두 답을 잇는 지름길도 있습니다: LCM(a, b) = a × b ÷ GCF(a, b). 48과 180이라면 8640 ÷ 12 = 720입니다. 계산기도 이 식으로 GCF에서 LCM을 만듭니다.
실제 예시: 12, 18, 30
- 첫 번째 쌍의 GCF. 18 = 1 × 12 + 6, 그다음 12 = 2 × 6 + 0이므로 GCF(12, 18) = 6입니다.
- 셋째 숫자를 합칩니다. 30 = 5 × 6 + 0이므로 GCF(GCF(12, 18), 30) = GCF(6, 30) = 6입니다.
- LCM은 한 쌍씩 구합니다. LCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, 그다음 LCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180입니다.
- 소수로 검산합니다. 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5입니다. 공유하는 소수를 가장 낮은 거듭제곱으로 곱하면 2 × 3 = 6이고, 모든 소수를 가장 높은 거듭제곱으로 곱하면 2² × 3² × 5 = 180입니다.
GCF 또는 LCM이 필요한 경우
| 문제 | 구하는 값 | 예시 |
|---|---|---|
| 분수 약분하기 | GCF | 18/30: 둘 다 GCF 6으로 나누면 3/5입니다. |
| 분수 더하기 | LCM | 1/12 + 1/18: 최소공분모는 36입니다. |
| 같은 크기의 묶음으로 나누기 | GCF | 펜 12개와 연필 18개로는 같은 세트를 최대 6개 만들 수 있습니다. |
| 반복되는 주기 맞추기 | LCM | 12분 간격과 18분 간격으로 오는 버스는 36분 뒤에 다시 함께 도착합니다. |
| 식 인수분해하기 | GCF | 12x + 18 = 6(2x + 3). |
자주 묻는 질문
- GCF와 LCM은 무엇이 다른가요?
- 최대공약수는 목록의 모든 수를 나누는 가장 큰 수이므로, 목록의 가장 작은 수보다 커질 수 없습니다. 최소공배수는 목록의 모든 수로 나누어떨어지는 가장 작은 수이므로, 가장 큰 수보다 작아질 수 없습니다. 12와 18의 경우 GCF는 6, LCM은 36입니다.
- GCF, GCD, HCF는 같은 것인가요?
- 네. 최대공약수(GCF), 최대공약수(GCD), 최고공약수(HCF, 영국에서 흔히 쓰는 용어)는 같은 수를 가리키는 세 가지 이름입니다. 최소공배수(LCM)는 때로 lowest common multiple이라고도 합니다.
- 두 소수의 GCF는 얼마인가요?
- 1입니다. 소수의 약수는 1과 자기 자신뿐이기 때문입니다. GCF가 1인 두 수를 서로소(coprime, relatively prime)라 하며, 이때 LCM은 두 수의 곱과 같습니다. 예를 들어 LCM(7, 11) = 77입니다. 소수가 아니어도 서로소일 수 있습니다. 예를 들어 8과 15가 그렇습니다.
- 셋 이상 숫자의 LCM은 어떻게 구하나요?
- 한 쌍씩 구하세요. 처음 두 수의 LCM을 구하고, 그 결과와 셋째 수의 LCM을 구하고, 이런 식으로 이어갑니다. 또는 모든 수를 소수로 인수분해한 뒤, 각 소수를 어떤 수에서든 도달하는 가장 높은 거듭제곱으로 곱합니다.
- 왜 0을 입력할 수 없나요?
- 모든 정수는 0을 나누므로 GCF(0, n)은 그냥 n이고, LCM(0, n)은 관례상 0입니다. 어느 쪽도 계산이 필요하지 않으며, 0에는 보여 줄 소인수분해도 없습니다. 0을 빼면 계산기가 나머지 수를 비교합니다.
- GCF × LCM은 항상 숫자들의 곱과 같나요?
- 두 수일 때만 그렇습니다. GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b입니다. 셋 이상이면 성립하지 않습니다. 2, 4, 8의 경우 GCF는 2, LCM은 8이므로 곱은 64가 아니라 16입니다.