지수 계산기
밑과 지수를 입력하면 정확한 거듭제곱을 얻습니다. 정수 결과는 마지막 자리까지, 음의 지수는 분수로, 정확한 근이 있으면 정확한 근으로, 없으면 소수로 보여 줍니다. 풀이 과정이 쓰여 있고, 표에서는 여러분의 수로 지수 법칙을 확인합니다. 무료이며 회원가입이 필요 없습니다.
정수, 소수 또는 분수, 예: 2, −1.5 또는 3/4.
정수, 음의 정수, 소수 또는 분수: 10, −3, 0.5 또는 2/3.
아래 법칙 표에서만 사용하며, 정수여야 합니다.
결과
1024
결과
4
결과의 자릿수
계산 과정
- 지수 10을 이진수로 쓰면 1010입니다. 즉 10 = 2 + 8입니다.
- 반복해서 제곱하세요: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- 이진수 자리에 맞는 거듭제곱을 곱하세요: 2² × 2⁸ = 1024.
여러분의 수에 대한 지수 법칙
밑과 두 정수 지수로 보면, 각 법칙의 양변이 같아집니다.
| 법칙 | 규칙 | 여러분의 수로 |
|---|---|---|
| 곱 법칙 | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192 |
| 몫 법칙 | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128 |
| 거듭제곱의 거듭제곱 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824 |
| 음의 지수 | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125 |
| 0 지수 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1 |
지수 계산기 사용 방법
- 1. 밑을 입력하세요. 정수, 소수 또는 분수입니다: 2, −1.5 또는 3/4. 음수를 거듭제곱하려면 밑에 마이너스 기호를 넣으세요. −2를 입력하면 (−2)ⁿ을 계산합니다.
- 2. 지수를 입력하세요. 정수(10), 음의 정수(−3), 소수(0.5), 분수(2/3) 모두 가능합니다. 소수는 정확한 분수로 읽으므로 0.5는 1/2입니다.
- 3. 결과를 읽으세요. 정수 거듭제곱은 모든 자리를 보여 주며, 큰 값에는 자릿수와 과학적 표기법을 함께 보여 줍니다. 음의 지수는 분수와 소수를 줍니다. 근은 정확한 답이 있으면 정확한 답을, 없으면 선택한 자릿수까지의 소수를 줍니다.
- 4. 풀이와 법칙을 따라가세요. 아래 단계는 거듭제곱이 어떻게 만들어지는지 보여 주고, 법칙 표는 여러분의 밑에서 곱, 몫, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙을 확인합니다.
지수의 뜻
정수 n ≥ 1에 대해 bⁿ은 b를 n번 곱한 것입니다. 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. 그 밖의 모든 종류의 지수는 같은 법칙이 계속 성립하도록 정의됩니다. 0 지수는 (b ≠ 0일 때) 1을 줍니다. b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1이기 때문입니다. 음의 지수는 역수입니다. b⁻ⁿ = 1 / bⁿ이므로 2⁻³ = 1/8 = 0.125입니다. 분수 지수는 근이면서 거듭제곱입니다. b^(p/q)는 b의 q제곱근을 p제곱한 것이므로 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4입니다.
| 법칙 | 규칙 | 예 |
|---|---|---|
| 곱 | bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| 몫 | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16 |
| 거듭제곱의 거듭제곱 | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| 곱의 거듭제곱 | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| 음의 지수 | b⁻ⁿ = 1 / bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| 0 지수 | b⁰ = 1 | 2⁰ = 1 |
실제 예시: 반복 제곱으로 2¹³ 구하기
지수가 큰 정수일 때 계산기는 컴퓨터나 꼼꼼한 사람이 적은 곱셈으로 거듭제곱을 만드는 방법을 보여 줍니다. 지수를 이진수로 쓰고, 밑을 반복해서 제곱한 뒤, 이진수의 1 자리에 해당하는 제곱들을 곱합니다.
- 13은 이진수로 1101이므로 13 = 1 + 4 + 8입니다.
- 반복 제곱: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- 해당하는 거듭제곱을 곱합니다: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
- 제곱 세 번과 곱셈 두 번으로, 하나씩 열두 번 곱하는 계산을 대신합니다.
매우 큰 결과
정수 거듭제곱은 정확한 큰 정수 연산으로 계산하므로, 어떤 크기에서도 반올림이 없습니다. 2¹⁰⁰은 마지막 자리까지 1267650600228229401496703205376이며, 부동소수점 연산은 이를 1.2676506002282294 × 10³⁰으로 근사할 뿐입니다. 20,000자리까지의 결과는 모두 씁니다. 그보다 크면 계산기는 로그로 얻은 자릿수 추정치(2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9.99002093 × 10³⁰¹⁰²)를 주고 그렇다고 알려 줍니다.
알아 두어야 할 관례
- 0⁰ = 1. 조합론, 멱급수, 대부분의 소프트웨어에서 쓰는 관례입니다. 일부 해석학 교재는 정의하지 않은 상태로 두며, 계산기는 이 경우를 표시합니다.
- 0을 음의 거듭제곱으로 올리는 것은 정의되지 않습니다. 0으로 나누는 것을 뜻하기 때문입니다.
- 음의 밑과 분수 지수. 지수를 먼저 기약분수로 줄입니다. 분모가 홀수이면 실수 근을 쓰므로 (−8)^(1/3) = −2이고 (−8)^(2/3) = 4입니다. 분모가 짝수이면 실수 답이 없습니다. (−4)^(1/2)은 복소수 2i입니다.
- −2²과 (−2)²은 다릅니다. 식으로 쓰면 −2²은 −(2²) = −4를 뜻합니다. 여기서는 밑이 수이므로, 밑 −2에 지수 2를 넣으면 4가 됩니다.
자주 묻는 질문
- 음의 지수란 무엇인가요?
- 음의 지수는 음수 결과가 아니라 역수를 뜻합니다. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0.04입니다. 결과의 부호는 밑에만 따르므로 (−2)⁻³ = −1/8입니다.
- 분수 지수는 무엇을 뜻하나요?
- 분모는 근, 분자는 거듭제곱을 뜻합니다. 27^(2/3)은 27의 세제곱근인 3을 제곱한 9입니다. 지수 1/2는 제곱근이므로 9^0.5 = 3입니다.
- 왜 어떤 수든 0제곱은 1인가요?
- 몫 법칙이 그것을 요구하기 때문입니다. bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰이고, 0이 아닌 수를 자기 자신으로 나누면 1입니다. 0⁰은 별도의 관례로, 보통 1로 둡니다.
- 2³²은 (2³)²과 같은가요?
- 아닙니다. 겹친 지수는 위에서 아래로 계산하므로 2^(3²) = 2⁹ = 512이고, (2³)² = 8² = 64입니다. 앞의 값을 얻으려면 지수에 9를, 뒤의 값을 얻으려면 6을 입력하세요.
- (a + b)²은 a² + b²과 같나요?
- 아닙니다. (a + b)² = a² + 2ab + b²입니다. 지수 법칙은 (ab)²처럼 곱에는 적용되지만 합에는 적용되지 않습니다. a = 3, b = 4이면 (3 + 4)² = 49이고 3² + 4² = 25입니다.
- 매우 큰 거듭제곱의 정확한 값은 어떻게 구하나요?
- 부동소수점 계산기 대신 큰 정수 연산을 쓰세요. 이 도구는 정수 지수에 대해 그렇게 계산하며, 20,000자리 결과까지 모든 자리를 보여 줍니다.