指数计算器

结果

计算过程

• 把指数 10 写成二进制:1010。即 10 = 2 + 8。
• 反复平方:2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256。
• 把与二进制各位上的 1 对应的幂相乘:2² × 2⁸ = 1024。

用您的数字检验指数法则

以您的底数和两个整数指数计算,每条法则两边的结果都相同。

如何使用指数计算器

1. 1. 输入底数。 整数、小数或分数均可:2、−1.5 或 3/4。若要对负数取幂,请把负号写在底数中——输入 −2 即计算 (−2)ⁿ。
2. 2. 输入指数。 整数(10)、负数(−3)、小数(0.5)和分数(2/3)都可以。小数按精确分数处理,因此 0.5 即 1/2。
3. 3. 读取结果。 整数次幂会完整列出,并附上位数;数值很大时还会给出科学记数法。负指数给出分数与小数;开方在存在精确值时给出精确答案,否则给出您所选位数的小数。
4. 4. 查看计算过程与法则。 下面的步骤说明幂是如何构造的,法则表则用您的底数检验乘积、商和幂的法则。

指数的含义

对于整数 n ≥ 1,bⁿ 表示 b 自乘 n 次:2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。其他类型指数的定义,都是为了让同样的法则继续成立。零指数得 1(b ≠ 0),因为 b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1。负指数是倒数:b⁻ⁿ = 1 / bⁿ,因此 2⁻³ = 1/8 = 0.125。分数指数既是根又是幂:b^(p/q) 是 b 的 q 次方根再取 p 次幂,因此 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4。

示例:用重复平方计算 2¹³

对于较大的整数指数,计算器会展示计算机(或耐心的人)如何用较少的乘法构造这个幂:把指数写成二进制,反复平方底数,再把与 1 对应的各个幂相乘。

• 13 的二进制是 1101,因此 13 = 1 + 4 + 8。
• 反复平方:2¹ = 2,2² = 4,2⁴ = 16,2⁸ = 256。
• 把对应的幂相乘:2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192。
• 三次平方和两次乘法,代替了十二次逐个相乘。

很大的结果

整数次幂使用精确的大整数运算计算,因此在任何大小下都没有舍入误差:2¹⁰⁰ 精确到最后一位是 1267650600228229401496703205376,而浮点运算只能近似为 1.2676506002282294 × 10³⁰。结果不超过 20,000 位的会完整写出;超过的则用对数给出数量级估计(2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9.99002093 × 10³⁰¹⁰²),并会加以说明。

需要知道的约定

• 0⁰ = 1。 这是组合学、幂级数和大多数软件中的约定;某些分析学教材将它保留为无定义,本计算器会标出这种情况。
• 零的负次幂无定义,因为那意味着除以零。
• 负底数与分数指数。 指数先化为最简分数。若其分母为奇数,则使用实数根,因此 (−8)^(1/3) = −2,(−8)^(2/3) = 4。若分母为偶数,则没有实数答案:(−4)^(1/2) 是复数 2i。
• −2² 与 (−2)² 不同。 作为表达式书写时,−2² 表示 −(2²) = −4。这里的底数是一个数字,因此以 −2 为底、指数为 2 得到 4。

常见问题

什么是负指数?

负指数表示取倒数,而不是负的结果。5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0.04。结果的正负只取决于底数,因此 (−2)⁻³ = −1/8。

分数指数是什么意思?

分母是根,分子是幂。27^(2/3) 是 27 的立方根(即 3)再平方,得到 9。指数 1/2 是平方根,因此 9^0.5 = 3。

为什么任何数的零次幂都等于 1?

因为商法则要求如此:bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰,而任何非零数除以它自己都得 1。0⁰ 是另一个单独的约定,通常取为 1。

2³² 与 (2³)² 相同吗?

不相同。叠起来的指数从上往下计算,因此 2^(3²) = 2⁹ = 512,而 (2³)² = 8² = 64。要得到前者,请把 9 作为指数输入;要得到后者,请输入 6。

(a + b)² 等于 a² + b² 吗?

不等于。(a + b)² = a² + 2ab + b²。指数法则适用于乘积,如 (ab)²,但不适用于和。当 a = 3、b = 4 时,(3 + 4)² = 49,而 3² + 4² = 25。

如何求一个很大的幂的精确值?

请使用大整数运算,而不是浮点计算器。本工具对整数指数就是这样做的,并显示每一位数字,结果最多可达 20,000 位。