Kalkulator Eksponen
Masukkan basis dan eksponen untuk mendapatkan pangkat yang tepat: hasil bilangan bulat hingga digit terakhir, pecahan untuk eksponen negatif, akar yang tepat bila ada dan desimal bila tidak. Perhitungannya dituliskan, dan sebuah tabel memeriksa hukum eksponen pada bilangan Anda sendiri. Gratis, tanpa perlu mendaftar.
Bilangan bulat, desimal atau pecahan seperti 2, −1,5 atau 3/4.
Bulat, negatif, desimal atau pecahan: 10, −3, 0,5 atau 2/3.
Hanya dipakai oleh tabel hukum di bawah; bilangan bulat.
Hasil
1024
Hasil
4
Digit pada hasil
Perhitungannya
- Tuliskan eksponen 10 dalam biner: 1010. Artinya 10 = 2 + 8.
- Kuadratkan berulang: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Kalikan pangkat yang sesuai dengan digit biner: 2² × 2⁸ = 1024.
Hukum eksponen pada bilangan Anda
Dengan basis dan dua eksponen bilangan bulat Anda, kedua ruas setiap hukum menghasilkan nilai yang sama.
| Hukum | Aturan | Dengan bilangan Anda |
|---|---|---|
| Hukum hasil kali | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2¹⁰ × 2³ = 1024 × 8 = 8192; 2¹³ = 8192 |
| Hukum hasil bagi | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2¹⁰ ÷ 2³ = 1024 ÷ 8 = 128; 2⁷ = 128 |
| Pangkat dari pangkat | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2¹⁰)³ = 1024³ = 1073741824; 2³⁰ = 1073741824 |
| Eksponen negatif | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0.125; 1 / 2³ = 1 / 8 = 0.125 |
| Eksponen nol | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 2⁰ = 1 |
Cara Menggunakan Kalkulator Eksponen
- 1. Masukkan basis. Bilangan bulat, desimal atau pecahan: 2, −1,5 atau 3/4. Untuk memangkatkan bilangan negatif, letakkan tanda minus pada basisnya — memasukkan −2 menghitung (−2)ⁿ.
- 2. Masukkan eksponen. Bilangan bulat (10), negatif (−3), desimal (0,5) dan pecahan (2/3) semuanya dapat dipakai. Desimal dibaca sebagai pecahan yang tepat, sehingga 0,5 adalah 1/2.
- 3. Baca hasilnya. Pangkat bilangan bulat ditampilkan lengkap, dengan jumlah digit dan, untuk nilai besar, notasi ilmiah. Eksponen negatif menghasilkan pecahan dan desimal; akar memberikan jawaban tepat bila ada, jika tidak berupa desimal hingga jumlah tempat yang Anda pilih.
- 4. Ikuti perhitungan dan hukumnya. Langkah-langkah di bawah menunjukkan bagaimana pangkat dibangun, dan tabel hukum memeriksa aturan hasil kali, hasil bagi dan pangkat pada basis Anda.
Apa Arti Eksponen
Untuk bilangan bulat n ≥ 1, bⁿ berarti b dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Setiap jenis eksponen lain didefinisikan agar aturan yang sama tetap berlaku. Eksponen nol menghasilkan 1 (untuk b ≠ 0), karena b⁰ = bⁿ ÷ bⁿ = 1. Eksponen negatif adalah kebalikan: b⁻ⁿ = 1 / bⁿ, sehingga 2⁻³ = 1/8 = 0,125. Eksponen pecahan adalah akar sekaligus pangkat: b^(p/q) adalah akar ke-q dari b yang dipangkatkan p, sehingga 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4.
| Hukum | Aturan | Contoh |
|---|---|---|
| Hasil kali | bᵐ × bⁿ = bᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Hasil bagi | bᵐ ÷ bⁿ = bᵐ⁻ⁿ | 2⁷ ÷ 2³ = 2⁴ = 16 |
| Pangkat dari pangkat | (bᵐ)ⁿ = bᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ = 64 |
| Pangkat dari hasil kali | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | (2 × 3)² = 2² × 3² = 36 |
| Eksponen negatif | b⁻ⁿ = 1 / bⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| Eksponen nol | b⁰ = 1 | 2⁰ = 1 |
Contoh Kasus: 2¹³ dengan Kuadrat Berulang
Untuk eksponen bilangan bulat yang lebih besar, kalkulator menunjukkan bagaimana sebuah komputer, atau seseorang yang sabar, membangun pangkat dengan sedikit perkalian. Tuliskan eksponen dalam biner, kuadratkan basisnya berulang kali, lalu kalikan kuadrat-kuadrat yang sesuai dengan digit 1.
- 13 dalam biner adalah 1101, sehingga 13 = 1 + 4 + 8.
- Mengkuadratkan berulang: 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁴ = 16, 2⁸ = 256.
- Kalikan pangkat yang sesuai: 2¹ × 2⁴ × 2⁸ = 2 × 16 × 256 = 8192.
- Tiga kali pengkuadratan dan dua kali perkalian menggantikan dua belas kali perkalian satu per satu.
Hasil yang Sangat Besar
Pangkat bilangan bulat dihitung dengan aritmetika bilangan bulat besar yang tepat, sehingga tidak ada pembulatan pada ukuran apa pun: 2¹⁰⁰ adalah 1267650600228229401496703205376 hingga digit terakhir, yang dalam aritmetika floating-point hanya dapat didekati sebagai 1,2676506002282294 × 10³⁰. Hasil hingga 20.000 digit ditulis lengkap; di atas itu, kalkulator memberikan perkiraan orde besaran dari logaritma (2¹⁰⁰⁰⁰⁰ ≈ 9,99002093 × 10³⁰¹⁰²) dan menyatakannya.
Konvensi yang Perlu Diketahui
- 0⁰ = 1. Ini adalah konvensi dalam kombinatorika, deret pangkat, dan sebagian besar perangkat lunak; beberapa buku analisis membiarkannya tidak terdefinisi, dan kalkulator menandai kasus ini.
- Nol berpangkat negatif tidak terdefinisi, karena artinya membagi dengan nol.
- Basis negatif dengan eksponen pecahan. Eksponen lebih dulu disederhanakan ke bentuk paling sederhana. Jika penyebutnya ganjil, digunakan akar real, sehingga (−8)^(1/3) = −2 dan (−8)^(2/3) = 4. Jika genap, tidak ada jawaban real: (−4)^(1/2) adalah bilangan kompleks 2i.
- −2² dan (−2)² berbeda. Ditulis sebagai ekspresi, −2² berarti −(2²) = −4. Di sini basisnya adalah bilangan, sehingga memasukkan −2 dengan eksponen 2 menghasilkan 4.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
- Apa itu eksponen negatif?
- Eksponen negatif berarti kebalikan, bukan hasil yang negatif. 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. Tanda jawabannya hanya bergantung pada basisnya, sehingga (−2)⁻³ = −1/8.
- Apa arti eksponen pecahan?
- Penyebutnya adalah akar dan pembilangnya adalah pangkat. 27^(2/3) adalah akar pangkat tiga dari 27, yaitu 3, dikuadratkan, menghasilkan 9. Eksponen 1/2 adalah akar kuadrat, sehingga 9^0,5 = 3.
- Mengapa bilangan apa pun yang dipangkatkan nol bernilai 1?
- Karena aturan hasil bagi mengharuskannya: bⁿ ÷ bⁿ = bⁿ⁻ⁿ = b⁰, dan bilangan bukan nol dibagi dirinya sendiri adalah 1. Kasus 0⁰ adalah konvensi tersendiri, biasanya diambil sebagai 1.
- Apakah 2³² sama dengan (2³)²?
- Tidak. Eksponen bertingkat dihitung dari atas ke bawah, sehingga 2^(3²) = 2⁹ = 512, sedangkan (2³)² = 8² = 64. Untuk mendapatkan yang pertama, masukkan 9 sebagai eksponen; untuk yang kedua, masukkan 6.
- Apakah (a + b)² sama dengan a² + b²?
- Tidak. (a + b)² = a² + 2ab + b². Aturan eksponen berlaku untuk hasil kali, seperti (ab)², tetapi tidak untuk penjumlahan. Untuk a = 3 dan b = 4, (3 + 4)² = 49, sedangkan 3² + 4² = 25.
- Bagaimana cara mencari nilai tepat dari pangkat yang sangat besar?
- Gunakan aritmetika bilangan bulat besar, bukan kalkulator floating-point. Alat ini melakukannya untuk eksponen bilangan bulat dan menampilkan setiap digit, hingga hasil 20.000 digit.